Educacion

ALGEBRA LINEAL
Valores y vectores propios
Sea A una matriz de nxn. Diremos que un vector es vector propio de A asociado al valor propio si y sólo si
Polinomio característico
Sea A una matriz de nxn y un valor propio de A. llamaremos polinomio característico a
Procedimiento para calcular los valores y vectores propios
1. Se encuentra el polinomio característico
2. Se encuentranlas raíces del polinomio característico
3. Se resuelve el sistema homogéneo correspondiente a cada valor propio
Ejemplo
Hallar los valores y vectores propios de
1. entonces
2.
3. Para tenemos entonces un vector propio asociado al valor propio 4 es

Para tenemos
entonces un vector propio asociado al valor propio 1 es

Valores propios de una matriztriangular
Los valores propios de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz
Ejemplo
Sea los valores propios son
Multiplicidad geométrica
Sea un valor propio de la matriz A; entonces la multiplicidad geométrica de es la dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio
Proposición
Sea un valor propio de la matriz A; entonces la multiplicidad geométrica dees menor o igual a la multiplicidad algebraica de

Cambio de base

La idea consiste en obtener una fórmula para pasar de las coordenadas en una base a las coordenadas en otra. Sea .
Sea entonces
Definición: La matriz M se llama matriz cambio de base (de la base A a la base B) y notaremos

Observación: Para construir hacemos:

1. Se escribe cada de A como combinación linealde B

2. Se “cuelgan esas coordenadas como columnas

Nos queda:

Ejemplo: Sea. Hallar y
1.

Entonces
2. y

Entonces y .
Quedando
Ejemplo: Sea . Hallar

Quedando
Transformación lineal
Definición Consideramos V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y una función.
Decimos que T es una transformación linealObservación Las dos condiciones de la definición pueden sustituirse por:
Proposición Si es una transformación lineal se cumple:
1.
2.
3.

Núcleo e imagen de una matriz

Definición: Sea una transformación lineal. Llamamos núcleo de T (notaremos N(T), Ker(T)) al conjunto de los vectores de V cuyo transformado es el vector nulo de W.

Definición: Sea una transformación lineal.Llamamos imagen de T (notaremos Im(T)) al recorrido de la función.

Ejemplo:

Hallar el núcleo y la imagen de

1. Entonces

2.

Entonces

Teoremas:

1. Si es una transformación lineal entonces

2. Sea una Transformación lineal y

Ejemplo:

Encontrar el subespacio de la imagen de
Como
Los transformados son ; entonces
Verificamos:Entonces
Teoremas:
1. es una transformación lineal entonces T es inyectiva si y solo si

2. Teorema de las dimensiones Consideramos V y W EV sobre un cuerpo K, V de dimensión finita y una transformación lineal entonces

3. Consideramos Vn y Wn espacios vectoriales de dimensión finita (EVDF) de la misma dimensión sobre un mismo cuerpo K. una transformación lineal.Las siguientes proposiciones son equivalentes:

a. T es sobreyectiva
b. T es biyectiva
c. T es inyectiva
d. Si

Relaciones entre el núcleo y la imagen de una transformación lineal y de una matriz
Teoremas:
1. Sean V y W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. . una transformación lineal. Entonces:
a. Si
b. Si
2. Sean V, W espacios vectoriales sobre unmismo cuerpo K y una transformación lineal. Entonces:
a. son isomorfos
b.
c. Si entonces
d. Si

Ejemplo: Se considera una transformación lineal tal que
siendo y . Hallar una base del .
Primero calculamos una base del núcleo de la matriz . Sea . Entonces
Así los vectores del núcleo de la matriz son de la forma
Entonces
Luego por el teorema = es...