Ejercicios_calculo_de_estructuras_I Tema_5

1. TEMA 5. MÉTODO MATRICIAL

1.1 Ejercicios resueltos
1. En la cubierta de la figura, determiar el valor de los momentos en
los extremos de las barras, así como el momento máximo en ellas.
(E=2.1·1011 N/m2, I=68000 cm4, A=56 cm2)

1m 1m

EI, A
EI, A

2.5 m

2 kN/m

3 kN/m

2EI, A

4.5 m

En primer lugar, definimos los nudos y los grados de libertad de la estructura.
8
7
9

11
10
12

5 C
4
6

DB

2
1
3
A

Las características necesarias para calcular las matrices de rigidez se resumen en la tabla siguiente.
BARRA

L (m)

I (cm4)

A(cm2)

ANGULO

AB

2.5

136000

56

90

BC

2

136000

56

90

BD

4.61

68000

56

12.5288

CD

4.61

-

56

-12.5588

Teoría de Estructuras I

Calculamos las matrices de rigidez de los distintos elementos,

Sistema local de los elementos AB y BC
4
5
4

B

65
C

6

α

α

1
1

2

2
3

3

A

B

Elemento AB,

k AB

 470.4

0


0
=
 -470.4

0

0


0
219.3408
274.1760
0
-219.3408
274.1760

0
-470.4
0
0 -219.3408
274.1760
456.9600
0
-274.1760
0
470.4
0
-274.1760
0
219.3408
228.4800
0 -274.1760

0

274.176 
228.48 

0

-274.176 

456.96 

que en coordenadas globales es,

K AB

A. Carnicero





=





219.3408
0
-274.1760-219.3408
0
-274.1760

0
-274.176 -219.3408 0
-274.176 

470.4
0
0
-470.4
0

0
456.96 274.1760
0
228.48 

0
274.176 219.3408
0
274.176 

-470.4
0
0
470.4
0

0 228.48
274.1760
0
456.96 

2

El método matricial

Sistema local de los elementos BD y CD

5
4
6
D

2
3
C

1

α

α

2

6

1

5

D

3

4

B

Elemento BC,

k BC

0
 588
 0
428.4

 0 428.4
=
0
 -588
 0 -428.4

 0 428.4

0 -5880
0 
428.4 0
-428.4 428.4 
571.2 0 -428.4 285.6 

0
588
0
0 
-428.4 0
428.4 -428.4 

285.6 0 -428.4
571.2 

que en coordenadas globales es,

K BC





=





428.4 0
0
588
-428.4 0
-428.4 0
0 -588
-428.4 0

-428.4 -428.4 0 -428.4 
0
0
-588
0 
571.2 428.4
0 285.6 

428.4 428.4
0 428.4 
0
0
588
0 

285.6 428.4
0 571.2 

Elemento BD,

k BD

0
0
-255.1102
0
0
 255.1102

0
17.4933
40.3200
0
-17.4933 40.32 


0
40.32
123.9107
0
-40.3200 61.9553 
=

0
0
255.1102
0
0
 -255.1102


0
-17.4933 -40.32
0
17.4933 -40.32 


0
40.32
61.9553
0
-40.3200 123.9107 


que empleanto la matriz de rotación

A. Carnicero

3

Teoría de Estructuras I

RBD

 0.9762 0.2169
 -0.2169 0.9762


0
0
=
0
0


0
0

0
0


0

0

0
0
1
0
0 0.9762
0 -0.2169
0
0

0
0
00.2169
0.9762
0

0
0 
0

0
0

1 

permite obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales,

K BD





=





243.9283 50.3189 -8.7466
50.3189 28.6752 39.3599
-8.7466 39.3599 123.9107
-243.9283 -50.3189 8.7466
-50.3189 -28.6752 -39.3599
-8.7466 39.3599 61.9553

-243.9283 -50.3189 -8.7466 
-50.3189 -28.6752 39.3599 
8.7466 -39.3599 61.9553 

243.9283 50.3189 8.7466 50.3189 28.6752 -39.3599 

8.7466 -39.3599 123.9107 

Elemento CD.
Este elemento solo puede trabajar a tracción o compresión (está articulado en los extremos y no tiene cargas
transversales o momentos aplicados) por lo que su matriz en coordenadas locales es,

 255.1102 -255.1102 
kCD = 

 -255.1102 255.1102 
que en coordenadas globales es

K CD



=




243.1050 -54.0233
-54.023312.0052
-243.1050 54.0233
54.0233 -12.0052

-243.105 54.0233 
54.0233 -12.0052 
243.1050 -54.0233 

-54.0233 12.0052 

matriz a la que se llego por medio de

RCD

0
 0.9762
 -0.2169
0 

=

0 0.9762 


0 -0.2169 


Luego las matrices de rigidez de los distintos elementos ya están calculadas. Las ensamblamos ahora para obtener la
matriz de rigidez global de la estructura,

A. Carnicero4

El método matricial

219.3408
0
-274.1760
-219.3408
0
-274.1760
0
0
0
0
0
0

-274.1760
0
456.9600
274.1760
0
228.4800
0
0
0
0
0
0

0
470.4
0
0
-470.4
0
0
0
0
0
0

-219.3408
0
274.1760
891.6691
50.3189
-162.9706
-428.4
0
-428.4
-243.9283
-50.3189
-8.7466

0
-470.4
0
50.3
1087.1
39.4
0
-588
0
-50.3
-28.7
39.4

-274.2
0
228.5
-163
39.4
1152.1
428.4
0
285.6
8.7
-39.4
62

0
0
0
-428.4
0
428.4...