Ejercicios Capitulo 10

312 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

10-9 RESUMEN
En este capítulo se han introducido las estimaciones por puntos y de intervalos para parámetros desconocidos. Se han analizado varios métodos para la obtención de estimadores puntuales, incluidos el mé-

todo de máxima verosimilitud y el método de los momentos. El método de máxima verosimilitud suele
llevar a estimadores que tienenbuenas propiedades estadísticas. Se obtuvieron intervalos de confianza
para una diversidad de problemas de estimación de par ámetros. Estos intervalos tienen una interpretación de frecuencia. Los intervalos de confianza de dos lados, desarrollados en las secciones 10-2 y
10 -3, se resumen en la tabla 10-5. En algunos casos los intervalos de confianza de un lado pueden ser
apropiados. Éstos puedenobtenerse dejando un límite de confianza en el intervalo de confianza de dos
lados igual al límite inferior (o superior) de una región factible para el parámetro, y empleando a en lu-

gar de a/2 como el nivel de probabilidad en el límite de confianza superior (o inferior) restante. También se presentaron los intervalos de confianza usando la técnica bootstrap, así como, de manera breve,
losintervalos de confianza aproximados en la estimación de máxima verosimilitud y los intervalos de

confianza aproximados.

10-10 EJERCICIOS
10-1

Suponga que tenemos una muestra aleatoria de
tamaño 2n de una población denotada por X y
E(X) = p y V(X) = Q2. Sean
2n

X,

rt

2n I Xi y X, = n
i=

l

Ex¡

i=1

dos estimadores de M. ¿Cuál es el mejor estimador de p? Explique su elección.
10-2 Deje que X,, X2...., X7 denote una muestra
aleatoria de una población que tiene media µ y
varianza a2. Considere los siguientes estima
dores de u:

10-4 Suponga que y 03 son estimadores de 0.
Sabemos que E(9,) = E(02 ) = 0, E(&3) # 0,
V(61) = 12, V(92) = 10 y E( 63 - 0)22 = 6. Compare estos tres estimadores . ¿Cuál prefiere usted? ¿Por qué'?
10-5 Considere que se toman tres muestras aleatorias
de tamaños n , = 10,n, = 8 y n 3 = 6 de una población con media p y varianza Q2. Sean S¡, S2
y S3 las varianzas de muestra. Demuestre que
l0S + 8S2 +6S2
24
es un estimador insesgado de a2.

X,+ X2+...+X7

o,-

1

7

62 =

2X, - X6 + X4
2

¿Alguno de los estimadores es insesgado?
¿Cuál de los estimadores es el "mejor"? ¿En
qué sentido es el mejor?
10-3 Suponga que 0 y é, son estimadores del parámetro 0. Sabemos queE(61) = 0, E(é,) =
0/2. V(&.) = 10 v V(9,) = 4. ;Cuál estimador

10-6 Los mejores estimadores insesgados lineales.
Un estimador 6 recibe el nombre de estimador
lineal si es una combinación lineal de las observaciones en la muestra. ó se llama el mejor estimador insesgado lineal si, de todas las funciones
lineales de las observaciones, es insesgado y tiene varianza mínima. Demuestre que la media dela muestra X es el mejor estimador insesgado lineal de la media de la población M.
10-7 Encuentre el estimador de máxima verosimilitud

Tabla 10 -5 Resumen de procedimientos de intervalos de confianza
Tipo de problema

Estimador
por puntos

Media,u de una distribución normal ,
varianza cs2 conocida

Intervalo de confianza de dos lados de 100(1 - a)%
X-z 6/i<_ t1 < X+ Z,^2 6/V

_

Diferencia entrelas medias de dos distribuciones
normales pi , y p, varianzas o y a2 conocidas

2

2

_

ff2

62

N, - P2 < X, - X2 + ZW2 , + 2
n2

n,

Media ui de una distribución normal ,
varianza (y` desconocida

n,

X X - tn,2n- , S/V <_ p < X + t,.2 n-, Sw' n

Diferencia entre las medias de dos distribuciones X,

-X2 - ta /2.n^ .rri -2 $P

X,

normales j1, - j2, varianza 62 = (72

desconocida

1
+ 1

n,

uP 2 <_ X, -X2 + trrR.n,.n, 2`SP 1 +
n2
n,
n2

-

,

= 1Í (n,-1)S; +(n2-1)S
donde SP V
ni +n2-2

Diferencia entre las medias de dos distribuciones
normales para muestras en pares
«D =P, -P2

D

Varianza (s2 de una distribución normal S2

D - tan. n -, SD /,i < u D < D + trr'2 . n - ,

(n-1)S2

QZ1r2 de dos

listribuciones normales

'roporción o parámetro de una distribución
)inomial p
)iferencia...