Ejercicios de Curvas

Ejercicios Resueltos MAT 024
Curvas

Problema 1: Considere la curva cuya parametrización está dada por r(t) =

√

√
2 sen t, 2 cos t, 2 sen t .

(i) Reparametrice la curva por longitud de arco.
(ii) Muestre que la curvatura de esta curva es constante.
Solución:
(i) r(t) =

√

√
√
√
2 sen t, 2 cos t, 2 sen t implica que r′ (t) =
2 cos t, −2 sen t, 2 cos t , por lo tanto
tt

r′ (u) du =

s=

√
4 du = 2 t

0

0

s
de donde t = y por lo tanto la parametrización por longitud de arco es
2
√
s
s
s √
r(s) =
2 sen
, 2 cos
, 2 sen
2
2
2
(ii) Recordemos que si una curva esta parametrizada por longitud de arco, r(s), entonces
k=

dT (s)
= r′′ (s)
ds

√
s
s
s √
, 2 cos
, 2 sen
, entonces
2 sen
por lo tanto como r(s) =
2
2
2
√
√√
√
1
s
s
s
s
s
s
2
2
2
2
′
′′
r (s) =
, − sen
,
r (s) = −
, − cos
,−
cos
cos
sen
sen
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
Tenemos entonces
k=

dT (s)
= r′′ (s) =
ds

1
1
=
4
2

Problema 2: Encontrar todas las funciones f (t) tales que la curva parametrizada por r(t) = (et , f (t) , λ f (t) ),
con t ∈ R y λ ∈ R, λ constante, sea una recta.
Solución: Para que unacurva dada represente una recta, la condición que debe cumplir es que su curvatura
debe ser cero en todo punto.
Recordemos que si la parametrización de una curva es r(t), entonces su curvatura esta dada por
k(t) =

r′ (t) × r′′ (t)
r′ (t) 3

Por lo tanto, k(t) = 0 para todo t, si y solo si, r′ (t) × r′′ (t) = 0.

rgeraldop

Ahora

r′ (t) = (et , f ′ (t), λf ′ (t) ),

r′′ (t) = (et, f ′′ (t), λf ′′ (t) ) =⇒ r′ (t)×r′′ (t) = 0, λet (f ′ (t) − f ′′ (t) ), et (f ′′ (t) − f ′ (t) )

de donde
r′ (t) × r′′ (t) = λ2 e2t (f ′ (t) − f ′′ (t) )2 + e2t (f ′′ (t) − f ′ (t) )2
= e2t (λ2 + 1)(f ′′ (t) − f (t) )2

1/2

1/2

Por lo tanto
r′ (t) × r′′ (t) = 0 ⇐⇒ f ′′ (t) − f ′ (t) = 0

La ecuación característica de esta E.D.O. de segundo orden de coeficientes constantes es k 2 −k = 0 cuyas raíces
son k = 0 y k = 1; la solución de esta ecuación (y por lo tanto la respuesta al problema) es entonces :
f (t) = Ae0·t + Be1·t = A + Bet

Problema 3: Pruebe que la curva dada por la parametrización r(t) =
circunferencia. Encontrar su centro, radio y plano donde se encuentra.

4
5

cos(t), 1 − sen(t), − 3 cos(t) es una
5

Solución: Para probar que la curva es unacircunferencia vamos a probar que la curva tiene curvatura
constante y t orsión cero.
Recordemos que

r′ (t) × r′′ (t)
,
r′ (t) 3

k(t) =
Ahora, si r(t) =

4
5

τ (t) =

r′ (t) × r′′ (t) · r′′′ (t)
r′ (t) × r′′ (t) 2

(∗)

3
cos(t), 1 − sen(t), − 5 cos(t) , entonces

r′ (t) =

3
4
− sen(t), − cos(t), sen(t)
5
5

r′′ (t) =

4
3
− cos(t), sen(t), cos(t)
5
5

r′′′(t) =

3
4
sen(t), cos(t), − sen(t)
5
5

de donde
r′ (t) × r′′ (t) =
además r′ (t) × r′′ (t) = 1

y

4
3
− , 0, −
5
5

r′ (t) × r′′ (t) · r′′′ (t) = 0

,

r′ (t) = 1

reemplazando estos valores en (*) se obtiene que para todo t
k(t) = 1

τ (t) = 0

rgeraldop

y queda demostrado que la curva es una circunferencia.
Dado que la curva es una circunferencia, entoncessu centro coincide con el centro del círculo osculador en
cualquier punto de la curva; por lo tanto el centro s puede calcular mediante
C = r(t0 ) +

1
N (t0 )
k

(∗∗)

para cualquier t0 .
Es fácil ver que
r′ (t)
=
T (t) = ′
r (t)

4
3
− sen(t), − cos(t), sen(t)
5
5

y N (t) =

T ′ (t)
=
T ′ (t)

4
3
− cos(t), sen(t), cos(t)
5
5

Para obtener el centro de lacircunferencia, tomamos t0 = π y de esa forma se obtiene r
2
N π = (0, 1, 0). Reemplazando en (**), el centro de la circunferencia es
2

π
2

= (0, 0, 0) y

C = (0, 0, 0) + (0, 1, 0) = (0, 1, 0)
El plano que contiene a esta circunferencia es el plano osculador de la curva en cualquier punto, el cual tiene
4
3
como vector normal el vector B(t) = T (t) × N (t) = − , 0, − .
5
5...