Ejercicios De Induccion

MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO

GUIA DE EJERCICIOS Nº 2
INDUCCION MATEMATICA
MATEMATICA GENERAL 10.052

1) Si n es un número natural, demuestre la validez en N:
n(n + 1)2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
6
2
n (n + 1) 2
13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =
4
n(3n − 1)
1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) =
2
2
3
n
n
2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2( 2 − 1)

a) 1 +2 + 3 + .... + n =
b)
c)
d)
e)

f) 13 + 33 + 5 3 + ... + (2n − 1) 3 = n 2 (2n 2 − 1)
g) (1 + +2 + 3 + ... + n) 2 = 13 + 2 3 + 33 + .... + n 3
h) (n 3 − n) es divisible por 3
i)

(6 n +1 +4) es divisible por 5

j) 5 n − 2 n es divisible por 3
k) x n − y n es divisible por x − y
l)

n(n − 1) es divisible por 24 , donde n es impar

m) n 3 + 2n es divisible por 3
n) (1 + 2 + 3 +... + n) 2 =

n2
(n + 1) 2
4

2) Probar que cada una de las siguientes proposiciones se cumple en N
a) n < 2 n
b) 3 n ≥ 2n + 1
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO.DE MATEMATICA Y C.C.
.
.
.
.

1

MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO

c) 2n ≤ 2 n
d) x 2 n − y 2 n es divisible por ( x + y ) ≠ 0
e) a + (a + d ) + ...... + [a + (n − 1)d ]=
f) 1 + 2r + 3r 2 + 4r 3 + ... + nr n−1 =

n
[2a + (n − 1)d ] , a, d ∈ ℜ, d ≠ 0
2

1 − (n + 1)r n + nr n +1
(1 − r ) 2

g) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 3 + .... + n ⋅ 2 n = (n + 1) ⋅ 2 n +1 + 23) Demuestre que las siguientes afirmaciones se cumplen para todo natural n
a)

11
1
1
n
=
++
+ ... + 2
3 15 35
2n + 1
4n − 1

b) 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 33 + .. + n ⋅ 3 n −1 =(2n − 1)3 n + 1
4

c)

1
1
1
1
n
+
+
+ .... +
=
1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7
(2n − 1)(2n + 1) 2n + 1

d)

n
n(n + 1)
1
2
3
+
+
+ .... +
=
2⋅3⋅ 4 3⋅ 4 ⋅5 4⋅5⋅6
(n + 1)(n + 2)(n + 3)4(n + 2)(n + 3)

4) Use Inducción en los siguientes casos
a) Sea (a n ) n∈N tal que a1 = 2 y a n = 3a n −1 para todo n > 1 . Demuestre que
a n = 2 ⋅ 3 n −1 para todo natural n > 1

b) Sea (a n )...