ejercicios de integraci n

Bien veremos para empezar las reglas básicas necesarias que se deben conocer para resolver
esta práctica, el símbolo de integral siempre va compuesto de la “s” alargada una función de
la variable y el diferencial, en el caso de que la variable es x, el diferencial será dx, si la variable
es otra letra, digamos “t” entonces el diferencial será dt y así para cualquier letra que usemos
comovariable, cómo se ve a continuación:

Ejemplo 1:

En el ejemplo anterior lo que está en el paréntesis es la función, nótese que es una función que
tiene como variable la “x” y vemos que el diferencial es dx
Ejemplo 2:

En el ejemplo anterior lo que está en el paréntesis es la función, nótese que es una función
que tiene como variable la “t” y vemos que el diferencial es dt

REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN:Fijémonos con cuidado en la expresión anterior, ¿cuál sería la función? ¿Qué es lo que hay
entre la “s” y el diferencial? La gente suele cometer el error de decir que no hay nada, lo que
equivaldría a cero, pero es incorrecto lo que realmente hay es un 1, por lo que:

Y el resultado de esta integral es:

Ahora veremos la expresión que le sigue a la anterior, la cual sería esta:

Donde k es unaconstante cualquiera, la primera propiedad importante de las integrales es que
las constantes pueden salir fuera de la integral

Como k y C son constantes, su multiplicación también será constante, en este caso usamos una
D, pero de ahora en adelante omitiéremos hacer esa multiplicación de constantes y usaremos
nuestra C, así que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

La siguiente integral básica en jerarquíasería la siguiente:

Nótese que la variable ahora aparece, la regla nos dice lo siguiente:

Veamos los siguientes ejemplos donde aparece además de la variable una constante, no
olvidemos que las constantes salen fuera de la integral:

Ahora veremos la regla básica más importante:

Varios ejemplos:

Por último veremos la regla de la suma y la resta de la integral (es como la de la derivada)Ejemplos:

De las tres integrales que quedaron todas se pueden resolver sin problemas con las reglas
dichas anteriormente.

REGLA DE SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)
Esta regla es la primera complejidad que surge con las integrales y funciona así, he decidido
explicarla con ejemplos pues la parte técnica puede enredar un poco:

Para resolver la integral planteada tenemos que hacer un cambio de variable,tomaremos lo
que está dentro de la raíz cuadrada y lo llamaremos “u” de la siguiente manera:

Ahora bien, ese u dará su propio diferencial du, por lo que hay que derivar:

1. Evalúe las siguiente integrales:
a.

Por la propiedad de la suma y la resta podemos separar la integral en cuatro integrales:

Sacando las constantes de las integrales tenemos:

Ahora resolvemos cada integral con las reglasvistas al principio:

b.

Separando la integral con la regla de la suma y resta tenemos:

Sacando las constantes nos queda:

c.

Usando sustitución tenemos lo siguiente:

Finalmente sustituimos la u por la expresión original

d.

Lo primero que hacemos es convertir los factores en un polinomio multiplicando los factores

Ahora resolvemos la integral de ese polinomio:

Usando las reglas vistasanteriormente separamos en integrales individuales y sacamos las
constantes:

e.

Aquí tenemos dos maneras de hacerla, podemos convertir la expresión en un polinomio, como
en el ejercicio anterior o podemos usar la técnica de sustitución, esto último es lo que haremos

Sustituimos lo verde y lo rojo de la expresión y obtenemos una nueva integral más fácil de
trabajar

Finalmente sustituimos la “u”por su valor original, y con ello terminamos el proceso

f.

En este caso lo que vamos a hacer es separar la fracción en dos fracciones homogéneas, luego
usar leyes de potencias como se verá a continuación:

Expresión que también se puede escribir de la siguiente forma dadas las leyes de potencias:

g.

Lo primero que hacemos es convertir los factores en un polinomio multiplicando los factores...