Ejercicios De Integracion

INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN
EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

1.

Aproximar:
3

x

∫ 1+ x

2

dx

0

mediante una fórmula de cuadratura de Gauss de cuatro puntos sabiendo que en el intervalo [1,2] las
abcisas (ξi, i = 0, 1, 2, 3) y los coeficientes (ωi, i = 0, 1, 2, 3) de una fórmula de este tipo son:
ξi
1.069
1.330
1.670
1.930

i
0
1
2
3

ωi
0.174
0.326
0.326
0.174
(4 puntos)

Solución:
Comonos dan los coeficientes y las abcisas de la fórmula de Gauss en el intervalo [1, 2], habremos de
transformar el intervalo de integración, [0, 3], en el intervalo [1, 2]. Para ello hagamos el cambio de
variable:

x =+
α βξ

 x =0, ξ =1: 0 =α + β
α =−3
 x =−3 + 3ξ
⇒ 
⇒ 
⇒ 
3, ξ =
2: 3 =
α + 2β
3
3d ξ
β=
 dx =
x =

luego:
3
−3 + 3ξi
−3 + 3ξ
x
=
3
ξ
≈
3
ωi
=1.148414806
dx
d
∑
2
∫0 1 + x 2
∫1 1+ ( −3 + 3ξ )2
1 + ( −3 + 3ξi )
i =0
3

2

2.

De una cierta función f(x) se conocen los valores f0, f1 y f2 que toma respectivamente en los puntos
1
x0, x1 y x2, equidistantes una distancia h. Además, se consideran los puntos
=
a
( x0 + x1 ) y b= x2 + h . Se
2
pide:

a)

Determinar una fórmula de integración numérica de tipo interpolatorio que, utilizando como
soporte {x0, x1, x2}, permitaaproximar:

∫ f ( x ) dx
b

a

(2 puntos)
b)

Determinar el error de integración numérica de la fórmula obtenida en el apartado a)
(2 puntos)
1

Solución:
Tomemos:
, x2 2h=
, a
=
x0 0,=
x1 h=

h
, b 3h y aproximemos f(x) mediante su polinomio
=
2

interpolador, p(x), relativo al soporte {x0, x1 y x2}:
f1 − f 0
f −2f + f
( x − x0 ) + 2 12 0 ( x − x0 )( x − x1 ) =
h
2h
f −f
f − 2 f1 + f 0
x ( x − h) =
=f0 + 1 0 x + 2
h
2h 2
3 f − 4 f1 + f 2
f − 2 f1 + f 0 2
f0 − 0
x+ 2
x
=
2h
2h 2

f ( x ) ≈ p ( x ) = f0 +

e integrando éste entre a y b:
b

b

a

a

) dx
∫ f ( x ) dx ≈ ∫ p ( x=

5h
( 2 f 0 − f1 + 11 f 2 )
24

que es la fórmula pedida en el apartado a).
Sea F(x) la primitiva de f(x), es decir: f ( x ) = F ′ ( x ) :
b

∫ f ( x ) dx =
a

h

F ( b ) − F ( a ) = F ( 0 + 3h ) − F  0 +  ,
2
Desarrollemos en serie de Taylor alrededor de x=0:
F ( 0 + 3h )= F ( 0 ) + 3hF ′ ( 0 ) +

9h 2
27 h3
81h 4 iv
F ′′ ( 0 ) +
F ′′′ ( 0 ) +
F ( 0 ) +
2
6
24

h
h
h2
h3
h 4 iv

F  0 + = F ( 0 ) + F ′ ( 0 ) + F ′′ ( 0 ) + F ′′′ ( 0 ) +
F ( 0) + 
2
2
8
48
384

por tanto:

9h 2
27 h3
81h 4 iv
F ′′ ( 0 ) +
F ′′′ ( 0 ) +
F ( 0) +  −
2
6
24
h
h2
h3
h 4 iv
′
′′
′′′
−F ( 0) − F ( 0) − F ( 0) − F ( 0)−
F ( 0) − =
2
8
48
384
5h
35h 2
215h3
1295h 4 iv
F ′ ( 0) +
F ′′ ( 0 ) +
F ′′′ ( 0 ) +
F ( 0) +  =
2
8
48
384
5h
35h 2
215h3
1295h 4
′
′′
f ( 0) +
f ( 0) +
f ( 0) +
f ′′′ ( 0 ) + 
2
8
48
384

F ( b ) − F ( a=
) F ( 0 ) + 3hF ′ ( 0 ) +

Por otra parte:

2

h2
h3
f ′′ ( 0 ) +
f ′′′ ( 0 ) + 
2
6
4h 2
8h3
f ( x2 ) = f ( x0 + 2h ) = f ( 0 ) + 2hf ′ ( 0 ) +
f ′′ ( 0 ) +
f ′′′ ( 0 ) + 
2
6
f ( x1 =
)f ( x0 + h=) f ( 0 ) + hf ′ ( 0 ) +

y, por tanto:
5h
( 2 f0 − f1 + 11 f2 ) =
24

 

5h 
4h 2
8h3
h2
h3
f ′′ ( 0 ) +
f ′′′ ( 0 ) +    =
 2 f ( 0 ) −  f ( 0 ) + hf ′ ( 0 ) + f ′′ ( 0 ) + f ′′′ ( 0 ) +   + 11 f ( 0 ) + 2hf ′ ( 0 ) +
24 
2
6
2
6

 


5h 
43h 2
87h3
′
′′
f ( 0) +
f ′′′ ( 0 ) +  
12 f ( 0 ) + 21hf ( 0 ) +
24 
2
6

En definitiva, el error será:

5h
35h 2215h3
1295h 4
f ( 0) +
f ′ ( 0) +
f ′′ ( 0 ) +
f ′′′ ( 0 ) +  −
2
8
48
384

5h 
43h 2
87 h3
− 12 f ( 0 ) + 21hf ′ ( 0 ) +
f ′′ ( 0 ) +
f ′′′ ( 0 ) +   =
24 
2
6

r=
(f)

45 4
 1295 5 87  4 ′′′
= 
−
=
=
h f ′′′ ( 0 ) + 
 h f ( 0) + 
28
 384 24 6 

3.-

45 4
h f ′′′ (ξ ) , ξ ∈ [ a, b ]
28

Sabiendo que las abscisas y los coeficientes de la fórmula de cuadratura gaussiana:
1

∫

−1

n

f( ξ ) dξ ≈ ∑ ω i f ( ξ i )
i =0

son, para diferentes valores de n:

3

n=0
=
ω0 2.000
=
ξ 0 0.000
n =1
ω0 = 1.000

ξ 0 = −0.577

=
ω1 1.000
=
ξ1 0.577
n=2
ω0 = 0.556
ξ 0 = −0.775
=
ω1 0.889
=
ξ1 0.000
=
ω2 0.556
=
ξ 2 0.775
n=3
ω0 = 0.348

ξ 0 = −0.861

ω1 = 0.652

ξ1 = −0.340

=
ω2 0.652
=
ξ 2 0.340
=
ω3 0.348
=
ξ 3 0.861
se desea construir una fórmula de este tipo que permita aproximar:
4...