EJERCICIOS PROPUESTOS DERIVADAS PARCIALES

Ejercicios Propuestos. Tarea No. 2.

∂2z
∂f ∂ 2 z ∂f ∂ 2 z
1. Encontrar las derivadas parciales
,
,
,
y
de los siguientes ejercicios:
∂y∂x
∂x ∂x 2 ∂y ∂y 2

a.

z = x5 y4 + ye2x

b.

c.

d.

e.

f.

g.

f(x, y, z) = xysen(z) − xzsen(y)

h.

i.

f(x, y, z) = arctg (xyz)

j.

k.

l.

m. w = x2eylnz

n.

o.

p.

q.

r.

s.

t.

2. Evaluar fx y fy en el punto que se indica.
a.

, (7, -1)

b.

, (2,-2)

c.

, (0, -2)

d.

, (0, -5)

f.

, (-8, -1)

e.

, (-3, 2)

g.

, (5, -6)

h.

, (-5, -9)

i.

, (-2, 5)

j.

, (6, -8)
, (-5, -4)

k.

, (-4, -7)

l.

m.

, (-5, -3)

n.

o.

, (0, -1)

p.

q.

, (5, -4)

r.

s.

, (2, -4)

t.

Ing. MSc. José R. Fuentes

UNI-RUPAP

, (-7, -3)
, (-2, 5)
, (5, -2)
, (2, -6)

1

3. Encuentre el diferencial total de cada una de las funciones dadas en el inciso1.
4. Utilice diferenciales para calcular de forma aproximada las siguientes expresiones.
a.

2.012 + 1.98 2 + 1.05 2

b. (1.02)3.03

c. (3.3) 2 + 2.(2.1) 3
e. arctan(1.01 / -1.98)
g. 1.013 + 0.983 – 3.(1.01)( 0.98)
3(2.9)
i.
(2.9) 2 + (4.01) 2

d. ln(2.9/4.01)
f. arcsen(-0.98) / arccos (0.45)
h. 2.(0.98).(1.01)(0.98)
3(1.01)
j.
(1.01) 2 + (−0.98) 2

5. Dibujar la curva de intersección de lasuperficie y del plano dado. Encontrar la pendiente
de la curva en el punto que se especifica y las ecuaciones paramétricas de la recta.

Superficie
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.

z = 49 − x 2 − y 2
z = x2 + 4y2
z = 9x2 - y2
z = 9x2 - y2
z = x2 + y4+ ex y
x3 + y3 = 3xyz
z = sen(x) + sen(y) + sen(x + y)
x2 + 2y2 + 2z2 = 14
z3 + (x + y)z 2+ x2 + y2 = 13

6. Calcular las derivadas parciales

Plano

Puntox=2
y=1
y=3
x=1
y=0
x=1
y=0
x=2
y=2

(2, 3, 6)
(2, 1, 8)
(1, 3, 0)
(1, 3, 0)
(1, 0, 2).
(1, 2, 3/2).
(0, 0, 0).
(2, 1, −2).
(2, 2, 1).

∂f
, f / u y f / v de las funciones:
∂t

(a) f(x, y) = x2 y3 con x = e2t; y = t2
(b) f(x, y) = e−x2 − y2 con x = t; y = t1/2.
(c) f(x, y, z) = sen(xyz) con x = t; y = t2; z = t3
(d) z = x.sen(y) con x = sen(t); y = t2.
(e) z = xsen(y) con x = t2 + 2; y = 2 Lnt
(f)f(x, y) = x2y3 con x = u2 + v2; y = uv
(g) f(x, y) = x2 sen(xy) + y2 cos(xy) con x = u2v; y = uv2
(h) f(x, y, z) = xz + xy + yz con x = uv; y = u2; z = v2

7. Calcule las derivadas direccionales de las funciones dadas en el punto dado en la
dirección dada.

Función

Punto

Dirección

a. f(x, y) = x2eylny
b. f(x, y) = 3x2 – 2y2

P (- ¾, 0)
A (-1/2, 0)

De R(- ¾, 0) a S(0, 1)
De Q(0, 1) a P(- ¾, 0)c. f(x, y) = x3 – 3xy + 4y2

B (1, 2)

Ing. MSc. José R. Fuentes

UNI-RUPAP

=

π

6
2

π

d. f(x, y) = y lnx + xy2

C (1, 2)

e. f(x, y) = 20 + xy

F (1, 2)

3
u = (3 / 5)i + (4 / 5)j

B (-3, 5)

Vector que forma 60º con X.

D (-1, 3)

De V(-1, 3) hasta W(1, -2)

G (1, 2)

u = cos( /3)i + sen( /3)j

A (1, -2)
B (1, -2)
C (1, -2)

en dirección de x = 0.
en dirección de y = 0.
en dirección de y =3x – 5.

f. f(x, y) =

x3

y2

3
2
g. f(x, y) = 3x2 – 2y2
h. f(x, y) = 4 - x2 –

y2

4
i. f(x, y) = arctan(x2 + y2 )
j. f(x, y) = arctan(x2 + y2 )
k. f(x, y) = arctan(x2 + y2 )

=

8. Encuentre el plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto dado.

Superficie

Punto

(a) f(x, y) = x 3 y ;
(27, 1021)
2 xy
(2, 9)
(b) f(x, y) = x e ;
(x - y)
(c) z = e
(1, 1, 1)
(2, 1, −2).
(d) x2+ 2y2 + 2z2 = 14
(f) z3 + (x + y)z 2+ x2 + y2 = 13
(2, 2, 1).
(g) ¿En qué puntos de las siguientes superficies el plano tangente es horizontal?
(g.i) z = xy.
(g.iii) z = 3xy − x3 − y3
2
2
(1, 2, 3)
(h) f(x, y) = x + y ;
(i) f(x, y) = sen(xy);
(1, , 0)
(6, 3, 2)
f ( x, y ) = 49 − x 2 − y 2
x
(k) f(x, y) =
(3, -4, 3/5).
x2 + y2
(l) z = x2 +2 y2 y el plano tangente es paralelo al plano x +2y – z =10.
(m) f(x, y) = x2 + y2;
(3, 4, 25)
(n) f(x; y) = xy,
(e, e)
xy
(1; 1; 1)
(o) f(x; y) = e + yx,
(p) z2 – 2x2 – 2y2 – 12 = 0
(1, - 1, 4).
(q) f(x, y) = x2 + xy + y2;
(-1, 1)
2
2
(r) f(x, y, z) = zln(x + y );
(1, 1, 1)
(s) f(x, y, z) = exy + z2;
(0, 2, 3)
2 5
(t) f(x, y) = x2/3 + 3y2/4;
(1,
)
3
(j)

(u)
(v)
(w)
(x)

f ( x, y ) = x 2 − y ;
z2 - x2 - y2 = 0
z - ln( x2 + y2)
x2 + 2xy - y2 + z2 = 7...