Derivadas parciales

DERIVADAS PARCIALES

Tenemos que una funci´n depende de los par´metros x e y, (f = f (x, y)), ´stos a su vez dependen de o a e otros dos par´metros u y v, x = x(u, v), y = y(u, v). Por l´gica f depender´ de u y v, f = (u, v). a o a Ya que f depende de x e y tendremos: df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

Pero x e y son funciones de u y v, por ´sto: e df = ∂x ∂x ∂f ∂y du + dv + du + ∂u ∂v ∂y ∂u ∂f ∂x ∂f∂f ∂x ∂f ∂y + du + + df = ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂f ∂x ∂y dv ∂v ∂y dv ∂v

Por l´gica f es una funci´n de u y v, por lo que: o o df = ∂f ∂f du + dv ∂u ∂v

Igualando estas expresiones tenemos fin´lmente que: a ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v Para obtener la segunda derivada con respecto a una variable final (u y v en este caso) tendremos lo siguiente: fuu = ∂(fu ) ∂∂(xu ) ∂(fy ) ∂(yu ) ∂(fx ) = + fx + yu + fy fx xu + fy yu = xu ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂(fx ) ∂(fy ) fuu = xu + fx xuu + yu + fy yuu ∂u ∂u

Si f = f (x, y), su derivada seguir´ dependiendo de x e y, por lo que: a ∂(fx ) ∂(fx ) ∂(fx ) = xu yu = fxx xu + fxy yu ∂u ∂x ∂y ∂(fx ) = fxx xv + fxy yv ∂v Teniendo fin´lmente: a fuu = xu (fxx xu + fxy yu ) + fx xuu + yu (fxx xv + fxy yv ) + fy yuu

1FUNCIONES IMPL´ ICITAS Si tenemos una ecuaci´n del tipo z = f (x, y) tal como z = x2 + 3y se dice que la funci´n z est´ dada o o a expl´ ıcitamente. Si z est´ expresada de una forma F (x, y, z) = 0 tal como cos(xy) + ln(z/y) − z 2 − 3 = 0 y a cuesta despejar z en funci´n de x e y se dice que z(x, y) est´ expresada impl´ o a ıcitamente como funci´n de x e o y.

Si tenemos F (x, y, z) = 0, sudiferencial vendr´ dado por la siguiente expresi´n: a o df = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Pero F (x, y, z) = 0 = cte, por lo que dF = 0, despejando podremos encontrar el diferencial de z. ∂F ∂F ∂F dx + dy + dz = 0 ∂x ∂y ∂z
∂F ∂x dz = − ∂F dx − ∂z ∂F ∂y ∂F ∂z

dy

Por otro lado z = z(x, y), por lo que: dz = Igualando tendremos:
∂F ∂z ∂x = − ∂F ∂x ∂z

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

∂z ∂y = − ∂F ∂y ∂z Oescrito de una manera mas compacta: zx = − Fx Fz Fx zy = − Fz

∂F

As´ mismo, si nos piden encontrar xy , nos indica que x es una funci´n de y y del par´metro que falta (z ı o a en este caso). Por lo que de una manera an´loga tendremos: a xy = − Fy Fx Fz xz = − Fx

2

PLANOS TANGENTES Si tenemos una funci´n z = z(x, y), el plano tangente a z en el punto (x0 , y0 , z0 ) est´ dado por lasiguo a iente ecuaci´n: o z − z0 = (x − x0 ) ∂z(x, y) ∂x + (y − y0 ) ∂z(x, y) ∂y

(x0 ,y0 ,z0 )

(x0 ,y0 ,z0 )

Si nos entregan expl´ ıcitamente z en funci´n de x e y simplemente se deriva para encontrar las expresiones o zx y zy . Si nos entregan z implic´ ıtamente por la ecuaci´n F (x, y, z) = 0, se ocupa la misma ecuaci´n y las o o derivadas se obtienen por las ecuaciones vistas en lasecci´n anterior (zx = −Fx /Fz y zy = −Fy /Fz ). o

3

DERIVADAS PARCIALES Ver las siguientes p´ginas: a http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html http : //www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr34 .html http : //www.uantof.cl/f acultades/csbasicas/M atematicas/academicos/emartinez/calculo3/gradiente/gradiente.html

4

´ MAXIMOS Y M´ INIMOSRELATIVOS Y ABSOLUTOS Para que una funci´n tenga un m´ximo o un m´ o a ınimo se requiere que todas sus derivadas s´an 0. Ree solver tal sistema nos entregar´ las coordenadas de los puntos cr´ a ıticos de la funci´n. Para saber si ´stos o e puntos son m´ximos, m´ a ınimos o puntos sillas debemos usar el m´todo del ”Determinante” e Det(x, y) = fxx fyy − fxy Si el determinante evaluado en los puntos es menorque 0, aquellos puntos son puntos sillas. Si es mayor que 0 puedne ser m´ximos o m´ a ınimos. Para saber se analiza el signo de la segunda derivada con respecto a x. Si fxx > 0, es un m´ ınimo, si fxx < 0, es un m´ximo. a Los puntos vistos anteriormente son m´ximos o m´ a ınimos relativos, ya que puede haber un m´ximo mas a m´ximo que otro. Los m´ximos o m´ a a ınimos absolutos se obtiene...