EJERCICIOS RESUELTOS DOMINIO Y RECORRIDO

 

Ejercicios resueltos ‐ Dominio y Recorrido de funciones
Dadas las funciones, determinar su dominio y recorrido(rango).

2
x 1

a)

y

b)

f x  

c)

x
x4
p x   x  3

d)

g x   3

e)

y

2
x 1

1

x2 1
2
f) hx  
x 1
x2
g) qx  
x3
Solución:

y

2
x 1

Empleando al algoritmo para la determinación del dominio y rango de funciones de variable real:
Primera pregunta: ¿haydenominadores con variables? Si: el denominador x-1. Por lo tanto x-1
debe ser desigual de cero: x  1  0  x  1
Segunda pregunta: ¿hay radicales pares con variables? No. Por lo tanto sólo tenemos una
condición para el dominio: Domf  x  : x ; x  1
Para la determinación del rango, debemos despejar la variable “x”, es decir; plantear la función
con relación a la variable “y”. Recuerde quepara determinar el rango de una función debemos
analizar el comportamiento de la variable “y”, y ver si hay alguna condición que limite el rango.

2
 y x  1  2 : en el denominador tenemos x+1, este binomio multiplicar a la
x 1
variable “y”.  yx  y  2 .
y

yx  2  y : x 

2 y
y

1

Como el objetivo es dejar la variable “x” despejada en cualquier lado de la igualdad,
Página

a)

 teniendo la función expresada en la variable “y”, seguimos el mismo algoritmo:
primera pregunta: ¿hay denominadores con variables? Si, en este caso el denominador es “y”.
Por lo tanto: y  0
Segunda pregunta: ¿hay radicales pares con variables? No. Por lo tanto sólo tenemos una
condición para el rango:

recf  x   y    0 en este caso hemos utilizado otra forma para denotar que la variablepertenece al conjunto de los números reales, pero no puede tomar valor “0”. Se puede leer
también: “y” pertenece al conjunto de los números reales, excepto el cero.
b)

f x  

x
x4

Pregunta: ¿hay denominadores con variables? Si: denominador x+4. Por lo tanto x+4 debe ser
desigual de cero: x  4  0  x   4
Pegunta: ¿hay radicales pares con variables? No. Por lo tanto sólo tenemos una condiciónpara el
dominio: Domf  x  : x  ; x  4
Para determinar el rango: f  x  

x
x
y
 y  x  4   x :  yx  4 y  x :
x4
x4

yx  x  4 y  0  yx  x  4 y.
Ahora corresponde obtener el factor común entre los términos de la izquierda:

x y  1  4 y : para despejar la variable “x”, divide por  y  1 : x 

4 y
y 1

Teniendo la función expresada en la variable “y”, seguimos elmismo algoritmo:
Pregunta: ¿hay denominadores con variables? Si, en este caso el denominador es  y  1 . Por lo
tanto: y  1  0  y  1  0  y  1
Otra pregunta: ¿hay radicales pares con variables? No. Por lo tanto sólo tenemos una

condición

para el rango: rec f  x  : y    1

x3

1ra pregunta: ¿hay denominadores con variables? No. Pasamos directamente a la segunda
pregunta:
2dapregunta: ¿hay radicales pares con variables? Si. Por lo tanto el argumento bajo el radical
debe ser mayor o igual a cero: x  3  0  x   3
Tenemos entonces una sola condición para el dominio de esta función: Dom p  x  : x  ; x  3

2

p x  

Página

c)

 
Para determinar el rango:

f x  

x3  y 

x  3 : elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz:

y 2  x  3  x  y 2 3 : desjando la “x;: x  y 2  3
Teniendo la función expresada en la variable “y”, seguimos el mismo algoritmo:
1ra pregunta: ¿hay denominadores con variables? No. Pasamos a la 2da:
2da pregunta: ¿hay radicales pares con variables? No.
Por lo tanto no hay ninguna condición que limite el rango: rec p  x  : y  

g x   3

2
x 1

1ra pregunta: ¿hay denominadores con variables?
Si: denominadorx+1. Por lo tanto x+1 debe ser desigual de cero: x  1  0  x   1
2da pregunta: ¿hay radicales pares con variables? No. Note que en este caso, hay signo radical en
esa función pero es impar, tenemos una raíz cúbica. Por lo tanto sólo tenemos una condición para
el dominio: Domg  x  : x  ; x  1
Para determinar el rango:

g x   3

y3 

2
2
: elevamos ambos miembros al cubo para...