Ejercicos De Algebra Lineal

INDICE

1. Combinación lineal (C.L.)




2. Base




3. Numero de vectores en una base



4. Independencia lineal y dependencia lineal



5. Sub espacios



6. Espacio renglón y columna



7. Base para el espacio renglón de una matriz



8. Dimensión



9. Rango



10. Bases ortogonales




11. Proceso de ortonormalización





Combinación lineal (C.L.)

Sean v1, v2….vn vectores en Rn, una expresión de la forma a1v1+a2v2+anvn donde a1v1…..anvn son escalares de dominio

Combinación lineal de los vectores v1, v2….vn.

[9,-4,6]= aî+bĵ+cЌ

[9,-4,6]= a [1, 0, 0]+b [0, 1, 0]+c [0, 0, 1]

[9,-4,6]= 9 [1, 0, 0]-4 [0, 1, 0]+6 [0, 0, 1]

[9,-4,6]= 9î-4bĵ+6Ќ

[10,-9]= u= [2,6] v= [-4,1]

[10,-9]=au+br

[10,-9]= a [2,6]+b [-4,1]

[10,-9]= -1[2,6]-3[-4,1]= (-2)+12=10 y -6-3=-9

10î-9î

[-7,3,5]= a[-2,0,4], v[-1,1,5], w[1,1,0], y[4,2,8]

[-7,3,5]= a1u+a2v+a3w+a4y

[-7,3,5]=1ª+3v+2w-1y.



















Expresar el vector [g, r] como una combinación lineal de a= [1,-2] y v= [2,3]

En primer lugar poner los vectores como matrices columna.



a+b = =









a+2b=8

-2a+3b=5

[8,5]=2u+3v

[8,5]=2î-4ĵ+6î+9ĵ

8î+5ĵ

[8,5]= 8î+5ĵ



















Base

Un conjunto [v1, v2….vn] de vectores en Rn se llama "BASE" de "R" si todo elemento de Rn se puede expresar de como una combinación lineal de v1, v2….vn en una y solo una forma.

Teorema:

v1, v2….vn vectores en Rny [v1, v2….vn] la matriz n × n cuya columna y i-esima es vî. Entonces las siguientes proporciones son equivalentes.

1) [v1, v2….vn] es una base de Rn

2) [v1, v2….vn] es invertible.

3) Det [v1, v2….vn] ≠ 0

4) La forma reducida por renglones de [v1, v2….vn]


Base: es el menor número de vectores que genera un espacio vectorial.

S= [v1, v2….vn]No todo espacio vectorial tiene una base que esta constituida de un número determinado de vectores. Cada vector de S es lineal mente independiente.





















Numero de vectores en una base

Si un espacio vectorial V tiene una base con cualquier número de vectores, entonces toda base de V tiene cualquier número de vectores

Demostración:

Si S1={v1,v2,,…vn}La base dada de v1y sea

S2= {u1,u2…..un}



































Libro Introducción al Algebra lineal (Larson - Edwards). Pág.: 236

Independencia lineal y dependencia lineal

Un conjunto de vectores [v1, v2….vn] en Rn es linealmente independiente si y solo si la ecuación vectorial a1v1+a2v2+anvn=0 si esa ecuación tiene únicamente solucióna1=a2…..an=0

Un conjunto de vectores es lineal mente independiente si y solo si la ecuación vectorial a1v1+a2v2+anvn=0 tiene una solución tal que por lo menos uno de los vectores aî no es iguala cero.

Demostrar que los vectores V de componentes v=[2,3,1] y P(1,1,0) son lineal mente independientes.

a1v1+a2v2=0

a1[2,3,1]+a2[1,1,0]=0=[0,0,0]

[2a1,3a1,a1]+[a2,a2,0]=[0,0,0]2a1+1a2+,3a1+a2+a1=[0,0,0]

2a1+a2=0

3a1+a2=0

Sustituir en la ecuación

2(0)+a2=0

3(0)+a2=0

a2=0+0

a2=0















Teorema 1

Los vectores v1v2…vn=0 de Rn forman un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn si y solo si de [a1,a2…an]≠0. También si la matriz formada por estos vectores es invertible o bien que la matriz formada por estos vectores

v1v2…vn≠0v1v2…vn es invertible

v1v2…vn es equivalente por renglón a In.

Los vectores v1v2…vn de Rn forman un conjunto de vectores linealmente independientes si y solo si

[v1v2…vn]=0

[v1v2…vn]=es singular

[v1v2…vn] no es equivalente por renglón In.



Comprobar si es dependiente o independiente:

u=[2,-3]

v=[-6,9]

















Sub espacios

Una muestra B...