El Calculo Segun Euler

Apuntes de Historia de las Matemáticas

No. 1, Vol. 2, ENER0 2003

EL CÁLCULO SEGÚN EULER
Eduardo Tellechea Armenta
“Calculaba sin esfuerzo aparente,
como otros hombres respiran o como
las águilas se sostienen en el aire...”
Dominique Francois Arago
(1786-1853)

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS INFINITESIMAL
Leonhard Euler nació en Brasilea, Suiza, el 15 de abril de 1707. En el año de 1720 conoció
a JeanBernoulli, quien debido a la muerte de Leibniz y el retiro de Newton de la actividad
científica, era considerado como el más destacado matemático del momento. A mediados
de 1722 se graduó de bachiller y dos años después obtuvo el grado de Maestro. En 1726
publicó su primer trabajo que tituló “Constructio linearum isochronarum in medio
quocunque resistente”. Esta memoria contribuyó a aumentar lagran admiración de Johann
Bernoulli hacia él, ya que ahí se muestra claramente el estilo que siempre lo acompañó, el
cual es descrito con mucha claridad en la siguiente expresión de Nicolás Caritat de
Condorcet (1743-1794), el famoso matemático y revolucionario francés:
“Cuando publicaba una memoria sobre un asunto nuevo, exponía con sencillez el
camino que había recorrido, haciendo observar susdificultades y vericuetos, y
luego de hacer seguir a sus lectores la marcha de su espíritu durante los primeros
ensayos, les enseñaba cómo había logrado encontrar el camino más fácil, lo que
demuestra que prefería la instrucción de sus discípulos a la satisfacción que
pudiera producirle el asombro de ellos, y creía no hacer bastante por la ciencia si
no agregaba a las verdades nuevas con que laenriquecía, la sincera exposición
de las ideas que le habían conducido a su descubrimiento” .
Este estilo no sólo enseña que se puede ser un gran científico y a la vez escribir con mucha
claridad, sino que también muestra una serie de elementos positivos de su personalidad, ya
que lo que un hombre escribe es el mejor reflejo de los aspectos más significativos de su
manera de ser.
En 1748, Eulerpublicó en Lausana, Suiza, el primero de sus tres grandes tratados sobre
cálculo: Introductio in Analysi Infinitorum. Esta obra, una de las más importantes en la
historia del cálculo infinitesimal y de la geometría analítica, recoge resultados que había
escrito en memorias anteriores, presenta nuevos aportes y desarrolla algunos de los
principales conceptos que sobre el tema habían obtenido suspredecesores, como Newton,
Leibniz y los Bernoulli. La obra está integrada por dos libros; fue traducida al francés en
19

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1785 y al alemán en 1788. Actualmente existe una traducción al inglés, editada por
Springer Verlag en 1988.

ALGUNOS RESULTADOS DE ESTA OBRA
1. En el capítulo VI introdujo el concepto de logaritmo, diciendo que si a >1, el
logaritmo de x en base a, es el exponente z tal que a z = x, siendo esta la primera vez
que se presentaba el logaritmo interpretado como un exponente.
2. A continuación analizaremos algunos importantes resultados obtenidos por Euler,
en cuyos desarrollos podemos darnos cuenta de que no se preocupaba por
determinar para qué valores son o no convergentes las series que obtuvo.
En el capítuloVII introduce el número e de la siguiente manera:
Como a0 = 1, entonces para un valor  infinitamente pequeño, escribe:
a = 1 + k .
x
Si x es un número positivo,
es un número infinitamente grande; por tal razón lo

x
identifica con un número N de valor infinito y entonces como  N ,

a x  a N  (a N )  (1  k ) N .
Aplicando luego la serie binomial, obtiene
a x  (1 

 1 N (

kx N
)
N-------------------------- (I)

kx N ( N  1) kx 2
N ( N  1)...(N  n  1) kx n
)
( )  ... 
( )  ...
N
2
N
n!
N

k
N 1 k 2 2
N 1 N  2 N  n 1 k n n
x  ...
...
x  ...
= 1 x 
1!
N 2!
N
N
N
n!

Como N es infinitamente grande, considera que
N 1 N  2
N m
1

 ... 
N
N
N
y, por lo tanto,
x
x2
xn
a x  1  k  k 2  ...  k n  ...1!
2!
n!

------------ (II)

Luego sustituye x por 1...