el capital

Laboratorio de Simulación
Trimestre 08P Grupo CC03A Pablo Lonngi
Lección 4
Números Complejos. IIª parte.
Representación polar de un complejo
En la forma polar, llamada también forma trigonométrica, un número complejo se
expresa con los números reales r, , los cuales pueden escribirse juntos como r,  o
como r.
De la figura que ubica a un vector complejo en el plano, se obtienen lasrelaciones
entre componentes rectangulares y polares.
Las coordenadas cartesianas x, y forman los catetos de un triángulo rectángulo que hace
el ángulo  en el origen entre el vector y la dirección positiva del eje de las abscisas, y la
hipotenusa del triángulo es de longitud r, el módulo del número complejo. Por consiguiente,
suponiendo que conocemos x, y, el número complejo que encoordenadas cartesianas es
z  x  iy puede escribirse en forma polar como z  r cos   i sin  r, con
r  x2  y2
y  dado por cualquiera de las relaciones
tan  yx
, cos   xr
o sin  yr
Nótese que para aplicar correctamente la fórmula de la tangente es necesario tener
presente el cuadrante del plano complejo en el que se encuentra z, porque al tomar el
cociente se pierde lainformación sobre los signos de cada componente cartesiana. Las
distintas posibilidades y los cuadrantes correspondientes están dados en la siguiente tabla:
signo x signo y cuadrante
  I
-  II
- - III
 - IV
Las partes real e imaginaria de z son claramente
Rez  x  r cos , Imz  y  r sin
las cuales nos dan la transformación inversa, de la forma polar a la forma rectangular delcomplejo.
La coordenada r de la forma polar del complejo, que es también el módulo del número
complejo, es la distancia que separa del origen de coordenadas al punto que lo representa,
mientras que el ángulo , que recibe el nombre de argumento del complejo, se toma
positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje real hasta el vector del
origen al punto. Nótese que siconsideramos un argumento   2k con k cualquier entero,
se obtiene el mismo número complejo. Comúnmente se elige a   0,2 o a   , 
como el intervalo del valor principal del argumento.
Basándonos en el significado geométrico del módulo, tenemos que si z y a son dos
números complejos cualesquiera, |z  a| representa la distancia entre ellos. Por
consiguiente, la expresión |z  a|  const.,considerando a a fijo y z variable, representa una
circunferencia con centro en a, mientras que |z  a| const. representa los puntos interiores
de un círculo con centro en a. En ambos casos, el radio de la circunferencia es igual al
valor de la constante del lado derecho. Estos son ejemplos de lugares geométricos,
regiones o curvas en el plano cartesiano que satisfacen expresiones que puedenser
ecuaciones o inecuaciones. En este caso, los lugares geométricos "puntos sobre una
circunferencia" y "puntos del interior del círculo" están definidos, respectivamente, por
medio de las fórmulas |z  a|  const. y |z  a| const.
Fórmula de Euler
La fórmula, identidad o ecuación de Euler es
ei  cos   i sin
Se demuestra aplicando la serie de potencias para la función exponencial:ex  1  x  x2
2!  x3
3!  x4
4! 
haciendo x  i:
ei  1  i 
i2
2! 
i3
3! 
i4
4! 
La serie se separa naturalmente en términos reales e imaginarios al tomar en cuenta que
i2  1, de manera que al agrupar para obtener la parte real e imaginaria de ei, coinciden
con las series de potencias para el coseno y el seno de , respectivamente. Esto también
se puedehacer, más fácilmente, con la fórmula del término general de las series.
Obsérvese que la identidad de Euler establece que ei es un número complejo con
módulo unitario. Una aplicación inmediata de la identidad de Euler es que podemos escribir
cualquier número complejo z como
z  x  iy  rei
El producto y el cociente con la forma polar
Aprovechando la fórmula de Euler, la forma polar...