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Las cónicas degenerada.s se obtienen si el plano coña al cono en sólo u§:,
punto o a lo largo ya sea de una o dos líneasque estén en el cono. Las secci*'
nes cónicas fueron bastante estudiadas por los antiguos griegos, quienes dg+,'
cubrieron propiedades que nos permiten plantear sus definiciones en términq*.r
de puntos y rectas, como haremos en nuestro análisis.
A partir de nuestro trabajo en la sección 3.6, si a * 0, la gráfica de y ari,
ax2 + bx t c es una parábola con un eje vertical. A continuaciónplantmrt-',
mos una definición general de la parábola y obtendremos ecuaciones para pt*. ,..
rábolas que tengan un eje verlical o un eje horizontal.
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Definición de parábola

Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano equidista
de un punlo fijo F (el foco) y una recta fija / (la directriz) que están en
plano.

Supondremcs que F no está en i, ya que de ser así seobtendrí¿ uÍa rec*
ta. Si P es un punto en el plano y P' es el punto en / determinado por unarecl¿

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Eje

que ilasa por / y es perpendicular a / (observa la ligura 2)" entonces,por Xa rtrefinición precedente, P está en la parábola si y sólo si las distancias d(Í', F') y
dtP, P') son iguales. El eje de la parátrola e s ia recta que pasa por F y es perpendicular a la directriz. El vértice de la parábola es eI punto 7 sobre el eje a

Ia mitad de ia di:;tancia entre F y /. El vérlii:e *s ei punto en Ia ¡;ar/tlr'.¡la ¡nás
próximo a la directriz.
Para obtener ur-Iaecuación sencilla de urra parábola. coioca¡-nos el eje v ii
ir; irrr{o r}el eje dc ia paríiLr,;la, ct.r¡r el *iiq':¡: r--rr ¿l i'É¡-tilr '[". ccn:n se ntu*ltia
er.i la figura 3. En este caso. el foco F tiene coordenadas 10, /i) para algún nrimero neal p + A, y la ecuación de la directríz es -1, : *p. (En la figura se muestra el caso p > 0.) Por la fórmula de ia distancia, un punto P("r, y) está en 1agráfica de la parábola si y sólo si d{P, F) : d{P, P'); es decir, si

ñ:\@.

figura 3

Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos:

x'+(v-p)':(v+p;)'
xz

+

y2

-

Zpy

* p' :
xz

y2

+

2py + p2

:4py

Una ecuación equivalente de la parábola es
I

v: -x2.
'4p
Hemos demostrado que las coordenadas de todo punto (-r, y) en la parábola satisfacen xz : 4py.Recíprocamente, si (-r, y) es una solución de ¡2 - 4py
entonces al invertir los pasos previos vemos que el punto (-r, y) está en la parábola.
Si p

> 0, la parábola abre hacia arriba, como en la figura 3. Si p < 0. la
parábola abre hacia abajo. La gráfrca es simétrica con'respecto al eje y, ya que
ia sustitución de -x por.x no cambia la ecuacién x2 : 4py.
Si iutercambiamos los papeles de x y y,obtenemos
A^- obien,
y,.2 :- 4px
^t-:-- .,,
su equivalente
*:
^^,,:

I

-

Ort'.

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen, F(p,O> y que abre
0. La ecuación de la directriz es
a la derecha sip > 0 o a Ia izquierda si p

x:-p.

{

:

Por conveniencia, a menudo nos referimos a "la parábola x2 4pj" (o
4px').
4py" (o
4px) en vez de "ia parábola con...