elatomohidrogeno

EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO 
 
 
El  átomo  de  hidrógeno  constituye  uno  de  los  pocos  sistemas  de  interés 
químico  que  admite  una  solución  exacta  de  la  ecuación  de  Schröedinger. 
Para todos los demás sólo es factible obtener soluciones aproximadas, que 
normalmente  se  apoyan  en  el  conocimiento  de  la  solución  para  el 
hidrógeno. 
 
Para  el  estudio  del  átomo  de hidrógeno  cambiaremos  el  sistema 
coordenado  con  el  que  hemos  trabajado.  Por  facilidad  utilizaremos 
coordenadas esféricas polares en lugar de las coordenadas cartesianas. 
 
•
Ángulo  φ:  este  ángulo  es  el  mismo  que  se  emplea  en  la  Tierra  para 
medir la longitud. Está definida por el ángulo formado por dos meridianos 
de la Tierra. 
 
•Ángulo θ: es el ángulo formado por la parte positiva del eje polar (eje 
z) y el radio vector que está dirigido hacia el punto (x) que desea situarse. 
 
•
Cada  paraje  (θ,  φ)  determina  unívocamente  un  punto  sobre  la 
superficie terrestre. 
 
•
Distancia r: es la distancia del origen al punto a localizar (x), o lo que 
es lo mismo, el tamaño del radio vector. 
 

 Para establecer la relación entre las coordenadas esféricas polares (r,θ,φ) y 
las  coordenadas  cartesianas  (x,y,z)  de  cualquier  punto  puede  obtenerse 
fácilmente. 
 
r 2 = x2 + y2 + z2  

 
 
 

z = r cosθ  

x = A cos φ
y = Asenφ  
B = A = rsenθ  
x = rsenθ cosφ
y = rsenθsenφ  
 
 

 

 
Nuestro modelo 
 
•
Átomo de hidrógeno que consiste en un núcleo y un electrón 
•
El núcleo tiene una masa M 
•
Y una carga Ze (Z=1 para el H), y en electrón con masa me y carga –e 
•Tanto  el  núcleo  como  el  electrón  se  encuentran  separados  por  una 
distancia r. 
•
Consideramos a ambas partículas como cargas puntuales. 
 
Tenemos entonces un sistema tridimensional de dos partículas, por lo que 
nuestro  Hamiltoniano  tendrá  que  incluir  dos  términos  de  energía  cinética 
(uno  para  cada  partícula),  y  el  término  de  energía  potencial  de  atracción eléctrica entre ellas.  
 

z

-e
θ

x

Ze
φ

y
x

y

 
 
El operador de la energía cinética del núcleo será: 
 
^
h2 2
EcN = − ∇N  
2M
 

 

Donde 

∂2 ∂2 ∂2
∇ = 2+ 2+ 2 
∂xN ∂yN ∂zN
2
N

 
El  correspondiente  operador  para  el  electrón,  en  coordenadas  cartesianas 
es: 
h2 2
E ce = −
∇e  
2me
^

Donde similarmente tenemos: 
 

∂2
∂2
∂2
∇ = 2+ 2+ 2 
∂xe ∂ye ∂ze
2
e

 La energía potencial electrostática será: 

Ze2
V = −κ
r  
Sumando los términos tendremos el hamiltoniano modelo: 
 

⎛ h2 2 h2 2
Ze2 ⎞
⎜⎜−
⎟⎟Ψ = ET Ψ
∇N −
∇e −κ
                6 
r ⎠
2me
⎝ 2M
 
•
La  función  de  onda  la  podemos  expresar  como  el  producto  de  la 
función ΨN respecto a un origen arbitrario (que en este caso será el núcleo, 
que  es  el  centro  de  masa  del  átomo  (X,  Y,  Z))  por  una  función  de  onda ψ 
electrónica, de las coordenadas relativas al electrón (x,y,z). 
 
•
Como la energía potencial depende de la distancia entre el núcleo y el 
electrón  es  mejor  utilizar  el  sistema  de  coordenadas  esféricas  polares,  ya 
que con ello el potencial V dependerá de una sola coordenada. 
 
 
 

La  parte  de  la  función  de  onda  que  tiene  mayor  interés  en  química  es  la parte electrónica, es decir la función ψ. Esto es debido a que en química los 
electrones son los responsables de la naturaleza y razón del enlace químico 
y también de muchas de las propiedades químicas de los átomos. Por tanto 
nuestro estudio se restringirá al estudio de esta función electrónica. 
 
Es importante que consideremos la masa reducida del sistema: 
 

µ=

me M
≈ me  
M + me

 De esta forma la ecuación de Schröedinger queda como sigue: 
 

⎛ h2 2
Ze2 ⎞
⎜⎜ −
⎟⎟ψ = Eψ  
∇ −κ
r ⎠
⎝ 2µ
 
Donde E será la energía electrónica. 
 
La  ecuación  de  Schröedinger  en  coordenadas  esféricas  polares  quedaría 
como: 
 
∂ 2 2µ ⎛
∂ ⎛
∂ψ ⎞
Ze2 ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞
1
1
⎜ ET + κ
⎟ψ = 0  
+
⎜r
⎟+
⎜ senθ
⎟+
∂θ ⎠ r 2 sen2θ ∂φ 2 h 2 ⎜⎝
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝
r ⎟⎠...