Elconceptodellimite 130125134820 Phpapp01

Dr. Juan R. Mejías Ortiz

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Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance
el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los conceptos más importantes
del cálculo. Para ir en búsqueda de una definición del límite,
exploremos la siguiente situación. En la gráfica a la derecha se
observa que los valores que toma una función f(x) en unintervalo
(c, L)
abierto (c – δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por
ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x
tiende a c.

Definición de Límite
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a c, y L
es un número real ( ).
Entonces:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒄

Esto quiere decir que para todo ε > 0 existe un δ > 0, de manera que
|
|
| ( ) |entonces

( )=
Lo más importante para recordar en esta definición es que al emplear la notación
→
se está afirmando que existe un límite de la función cuando x se acerca arbitrariamente a c y
que ese límite es L.
Tenemos a nuestra disposición tres métodos que nos permiten encontrar los límites de
una función en un intervalo abierto. Esto son el método numérico, el método gráfico y el métodoalgebraico. Te invito a explorar cada uno de estos tres métodos. En cada sección se discuten
ejercicios que promueven una mejor comprensión del concepto límite.

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1. MÉTODO NUMÉRICO
Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la
misma en varios puntos cercanos a x = c, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque
por su izquierday otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los
siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1: Evalúa la función ( ) =
resultados para estimar el límite.

en varios puntos cercanos a x = 2 y utilizar los

Construye una tabla de valores cercanos a x = c, en este caso x = 2. Recuerda asignar
valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c.
x
f(x)

1.9
4.61

1.99
4.9601

1.9994.996001

2
¿?

2.001
2.01
5.004001 5.0401

2.1
5.41

En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando x = 2
es 5. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación,
( )=
→

EJEMPLO 2: Evalúa la función ( ) =

en varios puntos cercanos a x = 5 y utilizar

los resultados para estimar el límite.
Sustituye cada uno de los valoresasignados a x en ( ) =
x
f(x)

4.9
2.9

4.99
2.99

4.999
2.999

5
¿?

5.001
3.001

.
5.01
3.01

5.1
3.1

En la tabla de valores se observa que cuando x = 5, se acerca a 3 tanto por la izquierda y
por la derecha. Entonces se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 es 3. En la
( )=
notación,
→

Dr. Juan R. Mejías Ortiz

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EJEMPLO 3: Evalúa la función

√

→

√

.

√
Sustituye cada uno de losvalores asignados a x en ( ) =

x
f(x)

-0.1
0.2911

-0.01
0.2889

-0.001
0.2887

0
¿?

0.001
0.2887

√

0.01
0.2884

Al evaluar el límite por la izquierda y derecha de 0 nos da que

EJEMPLO 4: Evalúa la función ( ) =

.

→

0.1
0.28630
√

√

=

en varios puntos cercanos a x = 0 y utilizar los

resultados para estimar el límite.
x
f(x)

-0.1
500

-0.01
50000

-0.001
500000

0
¿?

0.001
5000000

0.0150000

0.1
500

En la tabla de valores se observa que en la medida que se asigna valores que se acercan a
0 tanto por la izquierda como por la derecha el valor obtenido crece sin límite alguno.
Esto es si decimos que
| |

| |

entonces

entonces
( )=

( )=

. De otra manera

. Como la función no se acerca a

ningún número real cuando x tiende a 0, no tiene límite. O sea

→

no tiene límite.

Parauna mayor comprensión de este caso emplearemos el segundo método.

2. MÉTODO GRÁFICO
Este método consiste en analizar la función por medio de su comportamiento gráfico. Los
primero que se debe realizar es la construcción de la gráfica de la función. Puedes asignar
valores a x para obtener y para dibujar los pares ordenados, utilizar una calculadora gráfica o una
calculadora gráfica en línea....