Empresas de produccion social
Páginas: 46 (11355 palabras)
Publicado: 24 de marzo de 2010
CAP´ ITULO 5
atic
SOLUCIONES POR SERIES
eM qui a, D ept o. d atem
5.1. INTRODUCCION
∞ n=0
Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma o Cn (x − a)n .
Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste de todos los puntos para los cuales la serie es convergente.
es convergente .
Todo intervalo de convergencia tiene un radio deconvergencia R.
Un iv
n=0
ersi
∞
169
dad
Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x, si u |Cn | |x − a|n
de
An tio
as
CAP´ ITULO 5.
SOLUCIONES POR SERIES, PROF. JAIME ESCOBAR A.
Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en x = a. o Cuando R = ∞, la serie convergepara todo x. El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en o efecto, si l´ ım Cn+1 |x − a| = L Cn
n→∞
SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES 1. ex = 1 + x +
x2 2!
Un iv
ersi
Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino a t´rmino si tienen e e un intervalo com´n de convergencia. u
dad
de
Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino at´rmino en el e e interior de su intervalo de convergencia.
+
x3 3!
+ ... +
xn n!
An tio
qui
Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el ine e terior de su intervalo de convergencia.
+ ... =
convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞) 170
a, D
∞ n=0 xn n!
ept
Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior o de suintervalo de convergencia.
o. d
eM
Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los ´ extremos a − R , a + R de dicho intervalo.
atem
atic
y como la serie es convergente cuando L < 1, entonces el radio de con1 vergencia es R = L .
as
5.1. INTRODUCCION 2. sen x = x −
x3 3!
+
x5 5!
−
x7 7!
x + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . =
2n+1
∞n=0
(−1)n
x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6!
2n
3. cos x = 1 −
+
−
x + . . . + (−1)n (2n)! + . . . =
∞ n=0
(−1)n
x2n (2n)!
convergente para todo x en los reales.
x3 3! x5 5! x7 7! x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6! x2n (2n)! ∞
5. cosh x = 1 +
+
+
+ ... +
+ ... =
convergente para todo xen los reales.
1 1−x ∞ n=0
a, D
convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 7. ln(1 + x) = x −
x2 2
ept
∞ n=1
6.
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n + · · · =
xn
+
x3 3
convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1 8. tan−1 x = x −
An tio
−
x4 4
qui
o. d
eM
n=0
x2n (2n)!
atem
(−1)n+1
xn n
+ . . . + (−1)n+1 x + . . . = n
n
de
x3 3+
x5 5
− . . . + (−1)n
x2n+1 2n+1
+ ... =
∞ n=0
(−1)n
ersi
dad
convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 9. sen −1 x = x +
1 x3 2 3
Un iv
+
1·3 x5 2·4 5
+
1·3·5 x7 2·4·6 7
+ ... =
∞ n=0
1·3·5...(2n−1) x2n+1 2·4·6...2n 2n+1
convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 10. Serie binomial: 3 2 (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x +r(r−1)(r−2)x + . . . 2! 3! convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 171
atic
x2n+1 2n+1
n=0
as
4. senh x = x +
+
+
+ ... +
+ ... =
∞
x2n+1 (2n+1)!
CAP´ ITULO 5.
SOLUCIONES POR SERIES, PROF. JAIME ESCOBAR A.
5.2.
SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
Supongamos que la ecuaci´n o
se puede escribir as´ ı: y + P (x)y + Q(x)y = 0 dondea2 (x) = 0 en I y P (x) =
a1 (x) a2 (x)
Nota: si un punto no es ordinario se dice que es singular. RECORDEMOS: serie Taylor de y(x) en x = a es:
∞ n=0
n=0
luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´ o ıtica en x = 0. Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de y + sen xy + ex y = 0
172
Un iv
ersi
∞
y (n) (0) (x)n , n!
dad...
atic
SOLUCIONES POR SERIES
eM qui a, D ept o. d atem
5.1. INTRODUCCION
∞ n=0
Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma o Cn (x − a)n .
Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste de todos los puntos para los cuales la serie es convergente.
es convergente .
Todo intervalo de convergencia tiene un radio deconvergencia R.
Un iv
n=0
ersi
∞
169
dad
Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x, si u |Cn | |x − a|n
de
An tio
as
CAP´ ITULO 5.
SOLUCIONES POR SERIES, PROF. JAIME ESCOBAR A.
Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en x = a. o Cuando R = ∞, la serie convergepara todo x. El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en o efecto, si l´ ım Cn+1 |x − a| = L Cn
n→∞
SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES 1. ex = 1 + x +
x2 2!
Un iv
ersi
Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino a t´rmino si tienen e e un intervalo com´n de convergencia. u
dad
de
Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino at´rmino en el e e interior de su intervalo de convergencia.
+
x3 3!
+ ... +
xn n!
An tio
qui
Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el ine e terior de su intervalo de convergencia.
+ ... =
convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞) 170
a, D
∞ n=0 xn n!
ept
Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior o de suintervalo de convergencia.
o. d
eM
Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los ´ extremos a − R , a + R de dicho intervalo.
atem
atic
y como la serie es convergente cuando L < 1, entonces el radio de con1 vergencia es R = L .
as
5.1. INTRODUCCION 2. sen x = x −
x3 3!
+
x5 5!
−
x7 7!
x + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . =
2n+1
∞n=0
(−1)n
x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6!
2n
3. cos x = 1 −
+
−
x + . . . + (−1)n (2n)! + . . . =
∞ n=0
(−1)n
x2n (2n)!
convergente para todo x en los reales.
x3 3! x5 5! x7 7! x2n+1 (2n+1)!
convergente para todo x real.
x2 2! x4 4! x6 6! x2n (2n)! ∞
5. cosh x = 1 +
+
+
+ ... +
+ ... =
convergente para todo xen los reales.
1 1−x ∞ n=0
a, D
convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 7. ln(1 + x) = x −
x2 2
ept
∞ n=1
6.
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n + · · · =
xn
+
x3 3
convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1 8. tan−1 x = x −
An tio
−
x4 4
qui
o. d
eM
n=0
x2n (2n)!
atem
(−1)n+1
xn n
+ . . . + (−1)n+1 x + . . . = n
n
de
x3 3+
x5 5
− . . . + (−1)n
x2n+1 2n+1
+ ... =
∞ n=0
(−1)n
ersi
dad
convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 9. sen −1 x = x +
1 x3 2 3
Un iv
+
1·3 x5 2·4 5
+
1·3·5 x7 2·4·6 7
+ ... =
∞ n=0
1·3·5...(2n−1) x2n+1 2·4·6...2n 2n+1
convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 10. Serie binomial: 3 2 (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x +r(r−1)(r−2)x + . . . 2! 3! convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 171
atic
x2n+1 2n+1
n=0
as
4. senh x = x +
+
+
+ ... +
+ ... =
∞
x2n+1 (2n+1)!
CAP´ ITULO 5.
SOLUCIONES POR SERIES, PROF. JAIME ESCOBAR A.
5.2.
SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0
Supongamos que la ecuaci´n o
se puede escribir as´ ı: y + P (x)y + Q(x)y = 0 dondea2 (x) = 0 en I y P (x) =
a1 (x) a2 (x)
Nota: si un punto no es ordinario se dice que es singular. RECORDEMOS: serie Taylor de y(x) en x = a es:
∞ n=0
n=0
luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´ o ıtica en x = 0. Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de y + sen xy + ex y = 0
172
Un iv
ersi
∞
y (n) (0) (x)n , n!
dad...
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