Encontrar Raices Newton Raphson

Unidad II. Solución de Ecuaciones Algebraicas

En la unidad anterior se vio que un modelo matemático, se puede expresar mediante una ecuación que relacione las distintas variables que intervienen en un fenómeno. Esta ecuación puede tener una solución analítica para la variable de interés.
Sin embargo en muchos casos no es posible resolver analíticamente la ecuación general anterior, por lo quese habría de proponer una solución alterna, lo cual podría ser un método gráfico, o bien un método numérico que permita aproximar la solución con una tolerancia aceptable, por medio de un proceso iterativo.


2.1 Teoría de un Método Iterativo
Un método numérico iterativo es un método tal que se elige un x0 arbitrario y se calcula una sucesión de valores x0, x1, x2,.... de manera recurrente apartir de una relación de la forma xi+1 = g(xi) donde g(x) está definida dentro de algún intervalo que contiene a x0.
Un riesgo en el proceso iterativo, es que la solución del método no converja al valor x0 buscado, por lo que se debe establecer siempre un criterio de paro para concluir el proceso si este no converge a la solución, es decir el proceso iterativo nos puede conducir a un alejamiento dela solución (divergencia). Es conveniente, siempre que sea posible, establecer un criterio de convergencia en los métodos iterativos que trataremos en el curso.


2.2 Raíz de una Ecuación

En general una ecuación se puede representar para el caso de una variable independiente x por f(x) = 0, la solución de esta ecuación son los valores de x que hacen que la función sea cero, a los valores de x quesolucionan la ecuación se les denomina raíces o ceros de la ecuación, y gráficamente representan los puntos donde la función f(x) cruza el eje de las x.

2.2.1 Fundamento Matemático

En las matemáticas de ingeniería, generalmente tienen que hallarse soluciones de ecuaciones de la forma

f(x) = 0

es decir, números x0 tales que f (x0) = 0. En la mayoría de los casos tienen que usarse métodos deaproximación para encontrar x0 tal que satisfaga f (x0)  0.


2.3 Métodos de Intervalo

Estos métodos se caracterizan por el hecho de que una función cambia de signo al cruzar el eje de la variable independiente. Por ello es necesario proponer un intervalo donde suceda esto, es decir el intervalo propuesto debe contener la raíz.

2.3.1 Método de Bisección.

Es el más simple de los métodos y consisteen proponer un intervalo que contenga la raíz, acotando ésta dividiendo a la mitad el intervalo en subintervalos, localizando la mitad que contiene la raíz, procediendo así sucesivamente hasta un valor aceptable de la raíz.

Algoritmo 2.1 Método de la Bisección
Entrada. Tolerancia (s), número máximo de iteraciones (NMI), proponer un intervalo
[x1, x2] de tal manera que f(x1) f(x2) < 0.
Paso 1Calcular .
Paso 2 Tomar i = 2.
Paso 3 Mientras i  NMI seguir pasos 3 a 8.
Paso 4 Si f(x1) f(xp) < 0 Tomar x2 = xp
Si NO tomar x1 = xp
Paso 5 Tomar .
Paso 6 Si
Salida raíz aproximada xr
Paso 7 Tomar xp = xa
Paso 8 Tomar i = i+1
Salida No se alcanzó convergencia xp
Parar


2.3.2 Método de la Regla Falsa

En este método se supone que la función en el intervalo propuesto secomporta aproximadamente como una línea recta.
El algoritmo es análogo al método de la bisección, solo se cambia la ecuación del método:





Figura 1 Deducción de la ecuación del método de la Regla Falsa


Ejemplo 2.1
Encontrar una raíz de la función f(x1) = x3 - 2x – 1 en el intervalo [1, 2]

Método de Bisección
Entrada. f(x1) = x3 - 2x - 1;
s = 0.5  102 - n  ; n = 4; s = 0.005; NMI = 5.f(1) = -2; f(2) =3; f(1) f(2) = -6
por tanto existe una raíz en el intervalo
Primera Iteración
Paso 1 .
Paso 2 i = 2.
Paso 3 2  5.
Paso 4 f(x1) f(xp) < 0
f(1.5) = -0.625 f(1)f(1.5) < 0 NO x1 = xp x1 = 1.5
Paso 5 .
Paso 6 NO
Paso 7 xp = 1.75
Paso 8 i = 3
Segunda Iteración
Paso 3 3  5.
Paso 4 f(1.5) = -0.625; f(1.75) = 0.859 f(1.5)f(1.75) < 0 SI, x2...