Ensayo

DESIGUALDADES

El estudio de desigualdades es importante, ya que muchos problemas prácticos se modelan utilizando funciones siendo necesario analizar su comportamiento y tener en cuenta todas las restricciones de las variables. Por ejemplo, si se tiene un presupuesto determinado es necesario producir una cantidad de artículos que cumpla estos requerimientos y minimice los costos, o simplementepodremos estar interesados en determinar cuándo obtener una ganancia mayor a un valor determinado. La solución de estos y muchos otros problemas requieren del manejo claro y eficiente de las desigualdades e inecuaciones.

Orden en los números reales

Existe un subconjunto de los números reales, denotado IR + que satisfice los siguientes axiomas 1. 2. 3.

0 ∉ IR + La suma y el producto de doselementos de IR + es un elemento de IR + , es
decir: Para todo a, b ∈ IR + se tienen que a + b ∈ IR + y ab ∈ IR + . Dado cualquier número real x, es verdadera una y solo una de las siguientes proposiciones: i) x ∈ IR + ii) − x ∈ IR + iii) x = 0

Definición
Dados x, y ∈ IR diremos que x es menor de y ó y mayor de x ( notado x < y ) si y solo si y − x ∈ IR + .

x < y ⇔ y − x ∈ IR +Observación:
x≤ y ⇔ x< y∨ x = y

Propiedades de las desigualdades
I. (Ley de tricotomía) Dados dos números reales a y b, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera: a < b ó b < a ó a = b .

Demostración Esto es lógicamente equivalente al axioma 3. Para deducir del axioma 3 esta propiedad, sea z = a − b , como z ∈ IR , una y solo una de las siguientes afirmaciones es verdadera, z ∈ IR+ , − z ∈ IR + ó z = 0. Por tanto, a < b ó b < a ó a =b.
II. Si a, b, c ∈ IR tales que a < b y b < c entonces a < c

Demostración Si a < b y b < c entonces b − a ∈ IR + y c − b ∈ IR + . Utilizando la propiedad (2)
se tienen (b − a) + (c − b) ∈ IR + lo que es equivalente a que c − a ∈ IR + , luego
a < c.

III. Si a, b, c ∈ IR y a < b entonces a + c < b + c

Demostración Si a < b entoncesb − a ∈ IR + , para todo real c se tiene:

b − a = (b − a) + (c − c) = (b + c) − (a + c)
Por tanto, (b + c) − (a + c) ∈ IR + , lo que significa que a + c < b + c . IV. x > 0 si y solo si x ∈ IR + y x < 0 si y solo si − x ∈ IR + V. Si a < b y c > 0 entonces ac < bc

Demostración Si a < b y c > 0 entonces b − a ∈ IR + y c ∈ IR + . Por la propiedad (2)

(b − a)c ∈ IR + lo cual implica que bc −ac ∈ IR + y ac < bc .
VI. Si a < b y c < 0 entonces ac > bc

Demostración (Ejercicio)

VI.

Si a, b, c, d ∈ IR tales que a < b y c < d entonces a + c < b + d .

Demostración (Ejercicio)
VII. Si 0 < a < b y 0 < x < y entonces ax < by

Demostración (Ejercicio)

VIII. Si x ≠ 0 entonces x 2 > 0 .

Demostración
Si x ≠ 0 entonces o bien x ∈ IR + ó − x ∈ IR + . En el primer caso x 2 =x ⋅ x ∈ IR + por tanto x 2 > 0 . En el segundo caso, si − x ∈ IR + se tiene x 2 = (− x) ⋅ (− x) ∈ IR + y se concluye x 2 > 0 . En particular como 1 ≠ 0 y 12 = 1 se tiene que 1 > 0. IX. Si a, b ∈ IR entonces ab > 0 si y solo si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0)

Demostración (Ejercicio)
X. Si a, b ∈ IR entonces ab < 0 si y solo si (a < 0 y b > 0) ó ( a > 0 y b < 0)

Demostración (Ejercicio)XI. Si a, b ∈ IR entonces a > b si y solo si − a > −b

Demostración (Ejercicio)
XII. Si a ∈ IR entonces, a > 0 si y solo si a −1 > 0

Demostración (Ejercicio)
XIII. Si a ∈ IR entonces, a < 0 si y solo si a −1 < 0

Demostración (Ejercicio)

XIV. Si 0 < a < b entonces 0 < b −1 < a −1

Demostración
De la identidad a −1 − b −1 = (ab) −1 (b − a ) y puesto que como ab > 0 implica (ab)−1 > 0se ve que esta propiedad es consecuencia inmediata de los axiomas de orden.

Ejemplos
1. La ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.

Solución
Si x = 0 entonces x 2 + 1 = 1 ; por tanto de existir solución x ≠ 0 . Si x ≠ 0 entonces x 2 > 0 lo cual implica que x 2 + 1 > 1 y dado que 1 > 0 se tiene por transitividad x 2 + 1 > 0 . Por tanto en ningún caso se tiene que x 2 + 1 = 0 ....