Ensayo
Páginas: 18 (4400 palabras)
Publicado: 11 de noviembre de 2012
α
INTERÉS COMPUESTO
α
PRINCIPALES CONCEPTOS
El interés compuesto, es un mecanismo mediante el cual las ganancias se van sumando al capital, generalmente cada año, para formar parte del mismo, produciendo nuevos intereses. Simbología: Monto = M = C + I = Capital + Intereses
R Tanto por uno = r = –––– (Interés producido por 100 un sol en un año). Tiempo = t = (tiempo al que se impone elcapital generalmente en años).
SP
D
F1
Capital = C = Capital Impuesto
Capital 1er. año 2do. año 3er. año C C(1 + r) C(1 + r)2
w
w
w
.L
IB
Tanto por Ciento = R (Interés producido por 100 soles en un año).
R
O
Por lo tanto el monto después de t años es: M = C(1 + r)t
Interés Cr Cr(1 + r) Cr(1 + r)2 C + Cr
Monto = C(1+ r)
C(1 + r) + C(1 + r)r = C(1 +r)2 C(1 + r)2 + C(1 + r)2r = C(1 + r)3
…
“t” años
… ––
… ––
…
= C(1 + r)t
OBSERVACION IMPORTANTE.- En la fómula M = C(1 + r)t, el exponente t y el tanto por uno “r” siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período, al fin del cual se capitalizan los intereses de acuerdo con esto:
www.librospdf1.blogspot.com
www.GRATIS2.com
Dado un capital “C” que se imponea interés compuesto al “r” por uno anual, durante un tiempo de “t” años. Calcular el monto que se obtiene al final de ese tiempo.
.b
lo
gs p
ot
.c
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
α
www.MATEMATICASW.blogspot.com
om
exponente (tiempo) capitalización anual capitalización semenstral capitalización trimestral capitalización bimestral capitalización mensual capitalización diariat (en años) 2t 4t 6t 12t 360t
tanto por uno r r/2 r/4 r/6 r/12 r/360 (anual)
ot
En este caso: t = n + f donde: n = # entero de años f = fracción de año
La 1ra. anualidad en t años se convierte en:
.c
om
CASO EN QUE EL TIEMPO ES MULTIPLO DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
lo
O
en este caso se utiliza la fórmula:
SP
Ac(1 + r)t-1 La 3ra.anualidad en (t - 2) años se convierte en: Ac(1 + r)t-2 y así sucesivamente. La última anualidad en un año se convierte en Ac(1 + r) La suma producidos por las anualidades, debe ser igual al capital por “c” por formar entonces: C = Ac(1 + r)t + Ac(1 + r)t-1 + Ac(1 + r)t-2 + … + Ac(1 + r) Sacando factor común Ac(1 + r): C = Ac(1 + r)[(1 + r)t-1 + (1 + r)t-2 + + (1 + r)t-3 +… + 1] transformando acociente notables: (1 + r)t - 1 C = Ac(1 + r) ––––––––––– 1+r-1
INTERÉS
M=C+I I = M - C = C(1 + r)t - C ∴ I = C [(1 + r)t -1]
ANUALIDADES
DEFINICIÓN.- Se denomina anualidad a la cantidad fija que se entrega o impone todos los años para formar un capital (anualidad de capitalización) o para amortizar una deuda (anualidad de amortización).
ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (Ac)
Es la cantidad fijaque se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
[
]
www.librospdf1.blogspot.com
Para determinar el interés se observa que:
w
w
w
.L
M = C(1 + r) (1 + fr)
n
www.GRATIS2.com
IB
R
D
F1
.b
La 2da. anualidad en (t - 1) años se convierte en:
gs p
Ac(1 + r)twww.MATEMATICASW.blogspot.com
Ac(1 + r) [(1 + r) - 1] C = ––––––––––––––––––– r de donde: Cr Ac = ––––––––––––––––– (1 + r)[(1 + r)t - 1]
t
α
de donde: Cr (1 + r)t Aa = –––––––––– (1 + r)t - 1
α
EJERCICIOS RESUELTOS
1.-¿Qué monto formará en 4 años, un capital de 1 000 dólares, imponiéndose al final de cada año a interés compuesto del 10%? Solución: Datos: C = 1 000 t= 4
Es la cantidad fijaque se impone al final de cada año al “r” por uno de interés compuesto para amortizar una deuda “C” y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo “t”. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA.- La 1ra. anualidad impuesta durante “t - 1” años, se convierte en: Aa(1 + r)t -1 La 2da. anualidad impuesta durante “t - 2” años se convierte en:
10 r = –––– = 0,1 100 De la fórmula:
lo
D
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INTERÉS COMPUESTO
α
PRINCIPALES CONCEPTOS
El interés compuesto, es un mecanismo mediante el cual las ganancias se van sumando al capital, generalmente cada año, para formar parte del mismo, produciendo nuevos intereses. Simbología: Monto = M = C + I = Capital + Intereses
R Tanto por uno = r = –––– (Interés producido por 100 un sol en un año). Tiempo = t = (tiempo al que se impone elcapital generalmente en años).
SP
D
F1
Capital = C = Capital Impuesto
Capital 1er. año 2do. año 3er. año C C(1 + r) C(1 + r)2
w
w
w
.L
IB
Tanto por Ciento = R (Interés producido por 100 soles en un año).
R
O
Por lo tanto el monto después de t años es: M = C(1 + r)t
Interés Cr Cr(1 + r) Cr(1 + r)2 C + Cr
Monto = C(1+ r)
C(1 + r) + C(1 + r)r = C(1 +r)2 C(1 + r)2 + C(1 + r)2r = C(1 + r)3
…
“t” años
… ––
… ––
…
= C(1 + r)t
OBSERVACION IMPORTANTE.- En la fómula M = C(1 + r)t, el exponente t y el tanto por uno “r” siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período, al fin del cual se capitalizan los intereses de acuerdo con esto:
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Dado un capital “C” que se imponea interés compuesto al “r” por uno anual, durante un tiempo de “t” años. Calcular el monto que se obtiene al final de ese tiempo.
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DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
α
www.MATEMATICASW.blogspot.com
om
exponente (tiempo) capitalización anual capitalización semenstral capitalización trimestral capitalización bimestral capitalización mensual capitalización diariat (en años) 2t 4t 6t 12t 360t
tanto por uno r r/2 r/4 r/6 r/12 r/360 (anual)
ot
En este caso: t = n + f donde: n = # entero de años f = fracción de año
La 1ra. anualidad en t años se convierte en:
.c
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CASO EN QUE EL TIEMPO ES MULTIPLO DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA
lo
O
en este caso se utiliza la fórmula:
SP
Ac(1 + r)t-1 La 3ra.anualidad en (t - 2) años se convierte en: Ac(1 + r)t-2 y así sucesivamente. La última anualidad en un año se convierte en Ac(1 + r) La suma producidos por las anualidades, debe ser igual al capital por “c” por formar entonces: C = Ac(1 + r)t + Ac(1 + r)t-1 + Ac(1 + r)t-2 + … + Ac(1 + r) Sacando factor común Ac(1 + r): C = Ac(1 + r)[(1 + r)t-1 + (1 + r)t-2 + + (1 + r)t-3 +… + 1] transformando acociente notables: (1 + r)t - 1 C = Ac(1 + r) ––––––––––– 1+r-1
INTERÉS
M=C+I I = M - C = C(1 + r)t - C ∴ I = C [(1 + r)t -1]
ANUALIDADES
DEFINICIÓN.- Se denomina anualidad a la cantidad fija que se entrega o impone todos los años para formar un capital (anualidad de capitalización) o para amortizar una deuda (anualidad de amortización).
ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (Ac)
Es la cantidad fijaque se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
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Para determinar el interés se observa que:
w
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.L
M = C(1 + r) (1 + fr)
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IB
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D
F1
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La 2da. anualidad en (t - 1) años se convierte en:
gs p
Ac(1 + r)twww.MATEMATICASW.blogspot.com
Ac(1 + r) [(1 + r) - 1] C = ––––––––––––––––––– r de donde: Cr Ac = ––––––––––––––––– (1 + r)[(1 + r)t - 1]
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de donde: Cr (1 + r)t Aa = –––––––––– (1 + r)t - 1
α
EJERCICIOS RESUELTOS
1.-¿Qué monto formará en 4 años, un capital de 1 000 dólares, imponiéndose al final de cada año a interés compuesto del 10%? Solución: Datos: C = 1 000 t= 4
Es la cantidad fijaque se impone al final de cada año al “r” por uno de interés compuesto para amortizar una deuda “C” y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo “t”. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA.- La 1ra. anualidad impuesta durante “t - 1” años, se convierte en: Aa(1 + r)t -1 La 2da. anualidad impuesta durante “t - 2” años se convierte en:
10 r = –––– = 0,1 100 De la fórmula:
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