Ensayos

Capítulo 9

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones de variable real, por lo que aquídamos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para nuestros propósitos. Como referencia utilizamos [A POSTOL 1].

9.1. Series de potencias
9.1.1. Convergencia de las series de potencias

Definición 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma

n=0

∑ an (x − c)n .

∞

El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérveseque el término n-ésimo de la serie es an (x − c)n ). Si los coeficientes a0 , a1 , am−1 son nulos, la serie suele escribirse
n=m

∑ an (x − c)n .

∞

En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qué valores de x converge una seriede potencias? Obviamente, es segura la convergencia para x = c, con suma a0 , y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. a) La serie geométrica
n=0 ∞

∑ xn
1 1−x ,

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 189

como sabemos).

190 b) Laserie

Capítulo 9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

xn ∑ n=1 n
∞

converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. c) La serie xn ∑ 2 n=1 n
∞

converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. d) La serie (−1)n x2n ∑ n n=1
∞

converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. e) La serie xn ∑ n=0 n!
∞

converge(absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). f) La serie

n=0

∑ n! xn

∞

converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para algún r ∈ (0, +∞) la sucesión (an rn ) está acotada, entonces para cada x ∈ R tal que |x − c| < r la serie
n=0 ∞

∑ an (x − c)n es absolutamente convergente.
0 ≤ |an (x − c)n | = |an |rn |x − c| r |x − c| r
n n

Demostración. Sea M tal que para todo n ≥0 se tenga |an rn | ≤ M. Entonces ≤M |x − c| r
n

y como la serie geométrica

∞ n=0 ∞

∑

converge, se deduce que la serie

n=0

∑ |an (x − c)n | también converge.
n=0 ∞

Definición 9.1.3. Dada una serie de potencias (finito o infinito) dado por R = sup{|x − c| :

∑ an (x − c)n , su radio de convergencia es el valor

∞

n=0

∑ an (x − c)n converge}.

Si R > 0, el intervalo(c − R, c + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.

9.1. Series de potencias
∞

191

Teorema 9.1.4. Dada una serie de potencias
∞

n=0

∑ an (x − c)n con radio de convergencia R, se tiene:

a) Si |x − c| < R, la serie

n=0

∑ an (x − c)n converge absolutamente.

b) Si |x − c| > R, la serie no converge y la sucesión (an (x − c)n ) no está acotada.Nota. Según los ejemplos previos, cuando R es finito no puede decirse nada en general sobre la convergencia en los puntos c + R, c − R. Demostración. De la definición de R se deduce que si |x − c| < R, debe existir un punto x1 tal que |x − c| < |x1 − c| y absolutamente. Esto demuestra a). La parte b) es una consecuencia directa de la definición de R. Ejemplos. a) La serie
n=0

∑ an (x1 − c)nconverge. Aplicando el lema 9.1.2,
∞

∞

n=0

∑ an (x − c)n debe converger

∞

es oscilante.
∞

n=1

∑ xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1

b) La serie

xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es n=1 n convergente (pero no absolutamente).

∑

c) La serie

xn ∑ 2 tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para...