Entender Demostraciones

TOI 2

Actividad de Matem´
atica:
Sobre las demostraciones en matem´
atica (2)

En la siguiente actividad se propone probar una proposici´on, referida a conjuntos de n´
umeros
reales. Probarla utilizando alguno de los m´etodos presentados.

Definici´
on 0.1
Un conjunto S ⊂ R es acotado si existe M ∈ R : M > 0 tal que para todos los elementos
x ∈ S, se cumple |x| < M .

Ejercicio 1
Sean S, T ⊂ R.Probar que si S ⊂ T y S no esta acotado, entonces T no esta acotado.

TOI 2

Actividad de Matem´
atica:
Sobre las demostraciones en matem´
atica
Versi´on 1

Introducci´
on
En las siguientes l´ıneas trataremos de dar respuesta a las siguientes preguntas, ¿qu´e es demostrar? ¿c´omo hacer para entender una demostraci´on? ¿c´omo aprender a hacer demostraciones
propias?
Para abordar el tema semostrar´an diferentes t´ecnicas y modos de razonamiento que nos permitir´
an
entender las demostraciones y nos dar´an herramientas para que cada uno pueda realizar sus propias
demostraciones.
Una demostraci´on es un m´etodo para comunicar una verdad matem´atica a otra persona que
tambi´en “habla” el mismo idioma. Las demostraciones est´an presentadas adecuadamente para quienes ya conocen el lenguaje. Portanto, para entender, hacer una demostraci´on o ambas cosas, se
debe aprender un idioma nuevo, un m´etodo nuevo de razonamiento.
A menudo, lo que hace que una demostraci´on sea tan dif´ıcil de entender es el hecho de que se omiten partes del proceso de razonamiento, obligando a los estudiantes a tener que reconstruir dicho
proceso.
Comencemos considerando un ejemplo de proposici´on, la cualqueremos demostrar su veracidad:
Si tenemos un tri´
angulo (XY Z) rect´
angulo tal que su hipotenusa tiene longitud z,
z2
y su ´
area es 4 , entonces el tri´
angulo es is´
osceles.
X

y

En el enunciado se pueden identificar dos partes,
A =“tenemos un tri´angulo (XY Z) rect´angulo tal que su
2
hipotenusa tiene longitud z, y su ´area es z4 ” y por otro lado
B = “el tri´angulo es is´osceles”.

z

Z

Y

xEl enunciado anterior se puede expresar sint´eticamente de la forma “Si A, entonces B”, en
s´ımbolos esto queda como “A ⇒ B”. (La flecha se lee como: entonces o implica).
Si nuestro objetivo es demostrar que este enunciado es cierto, debemos encontrar argumentos
2
convincentes para concluir que si el tri´angulo es rect´angulo y de ´area z4 entonces es is´osceles.
En matem´atica una de lasprincipales actividades es la de encontrar alg´
un argumento para
justificar que A implica B. La afirmaci´on de la cual partimos (A) se llama hip´otesis, y la afirmaci´
on
que queremos concluir (B) se llama tesis. La demostraci´on matem´atica es la herramienta que
tenemos para concluir la tesis. Para ello abordaremos algunas t´ecnicas comunes que se utilizan
para cumplir nuestro objetivo.

El m´
etodoprogresivo-regresivo
El m´etodo progresivo-regresivo consiste en trabajar con la hip´otesis y la tesis de forma
simult´anea obteniendo afirmaciones equivalentes a ambas y de alguna forma llegar a vincularlas
l´ogicamente. Si trabajamos con la hip´otesis y vamos obteniendo afirmaciones equivalentes estamos

procediendo seg´
un el m´etodo progresivo, por otro lado, si trabajamos con la tesis y vamosobteniendo afirmaciones equivalentes estamos procediendo seg´
un el m´etodo regresivo. En lenguaje
coloquial, la idea es ir “descomponiendo” la hip´otesis y la tesis hasta llegar a una verdad evidente
que vincule a ambas, en otras palabras, la idea es ir dando “saltos” desde la hip´otesis hacia la tesis
(m´etodo progresivo) y desde la tesis hacia la hip´otesis (m´etodo regresivo).
Retomemos elejemplo del tri´angulo e intentemos descifrar lo escrito anteriormente, “si tenemos
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un tri´angulo (XY Z) rect´angulo, tal que su hipotenusa tiene longitud z, y su ´area es z4 , entonces
el tri´angulo es is´osceles.”.
Para demostrar que A implica B asumimos que A es verdadero (hip´otesis) y, de alguna forma, hay
que usar esa informaci´on para lograr la conclusi´on de que B es verdadero (tesis)....