entropía

Entropía relativa de
Von Neumann
Roberto Quezada*

*Depto. de Matemáticas. UAM-I roqb@xanum.uam.mx
*Depto. de Matemáticas. UAM-I

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ContactoS 90, 75–80 (2013)

Recibido: 13 de mayo de 2013
Aceptado: 21 de agosto de 2013
Resumen
Revisamos la definici´on y algunas propiedades importantes de la entrop´ıa relativa de Von Neumann.
Introducci´
on
En la formulaci´
on m´as conocidade la Mec´anica
Cu´antica, un sistema f´ısico se describe mediante un
espacio de Hilbert separable h. Las propiedades del
sistema que se pueden medir (energ´ıa, momento, posici´on, etc.), se llaman observables y se describen
mediante operadores autoadjunto sobre h. Un estado del sistema proporciona una descripci´on completa de ´este. Los estados del sistema son operadores
positivos de trazauno y se pueden considerar como una extensi´
on no conmutativa del concepto de
medida de probabilidad.
En 1927 Von Neumann defini´o su entrop´ıa
S(ρ) = −tr(ρ log ρ),
para estados ρ de un sistema cu´
antico en [12], donde
tr(·) denota la traza, y continu´o la discusi´
on de las
propiedades e interpretaci´
on f´ısica de esta cantidad
en su libro [13]. Si (ej )j es la base ortonormal devectores propios de ρ con valores propios asociados
(ρj )j , entonces se tiene que
S(ρ) = −

ρj log ρj ,
j

con la convenci´
on que 0 log 0 = 0, que se justifica
porque la funci´on f (x) = −x log x si x > 0 y f (0) =
0 es continua en x = 0. Despu´es de Von Neumann,
Shannon di´o una interpretaci´
on de la cantidad
−

pi log pi
i

como una ”medida de la incertidumbre” (o “medida de lainformaci´on”). Von Neumann por s´ı mismo
nunca conect´o su entrop´ıa con la teor´ıa de la informaci´on. Aunque la definici´on de S(ρ) data de 1927,
no se us´
o mucho durante varias d´ecadas.
Para los fines de este art´ıculo se puede suponer que
el espacio de Hilbert complejo y separable h, con
producto interno denotado por ·, · , tiene dimensi´on finita, i.e., isomorfo a Cn para alg´
un n≥ 1,
sin embargo todos los resultados son v´
alidos en dimensi´on infinita. En dimensi´on finita los operadores autoadjuntos (observables) son matrices complejas a de tama˜
no n × n que coinciden con su trans-

puesta conjugada a∗ , (a∗ = a). Y los estados son matrices positivas definidas con traza igual a uno. Por
ser positivo, un estado ρ es una matriz autoadjunta y por lo tantodiagonalizable en la base ortonormal de sus vectores propios, si (ρj )j son los valores propios, entonces tr(ρ) = j ρj .
Entrop´ıa relativa de Von Neumann
Para dos distribuciones de probabilidad f (x) y g(x),
la entrop´ıa relativa cl´asica (o conmutativa) se define
mediante la ecuaci´
on
∞

f (x) log

D(f, g) =
−∞

f (x)
dx.
g(x)

La entrop´ıa relativa de Von Neumann (o cu´
antica,
noconmutativa), fue definida en el contexto de ´algebra de Von Neumann por Umegaki en 1962, [11].
Lindblad la aplic´o en f´ısica matem´atica en 1967,
[4], pero su relevancia en informaci´on cu´
antica y
la teor´ıa erg´
odica cu´
antica se descubri´
o hasta despu´es de 1980.
Si ρ y η son dos estados, la entrop´ıa relativa de Von
Neumann se define como
S(ρ, σ) = tr ρ log ρ − ρ log σ) ,
siker(σ) ⊂ ker(ρ) y S(ρ, σ) = ∞ en otro caso.
La entrop´ıa relativa es una medida de la distinguibilidad estad´ıstica de dos estados y por esta raz´
on decrece bajo transformaciones estoc´asticas, ver el Teorema de Uhlmann-Petz abajo.
El concepto de entrop´ıa relativa (cl´
asica o cu´
antica) tiene aplicaciones muy importantes en la teor´ıa
de la informaci´on, en mec´
anica estad´ıstica y, engeneral, en el estudio de estructuras disipativas y sistemas complejos en f´ısica, biolog´ıa y otras ´areas. Su
relaci´
on estrecha con nociones de la f´ısica estad´ıstica como el balance detallado introducido por Boltzmann, permite realizar un estudio matem´aticamente riguroso de nociones como irreversibilidad y estados estacionarios fuera de equilibrio, conceptos que
son central en el estudio...