Enzo

Facultad de Ciencias del Mar
Unidad de Ciencias Básicas

Curso: Calculo II
Carrera: Ingeniería en Prevención
de Riesgos y Medioambiente

Prof: Nancy Araya
Ayud: Enzo Bonilla
Segundo Semestre del 2007

Prof: Nancy Araya

Ayud: Enzo Bonilla

Temario
•

Unidad O: Repaso de Cálculo I: Derivadas
Definición de derivada
Formulas de derivación
Técnicas de derivación
Derivaciónimplícita

•

Unidad 1: “Aplicaciones de la derivada”

i) Capítulo I: Gráfico de funciones usando derivadas.
Criterio de la primera derivada para encontrar extremos relativos
Criterio de la segunda derivada para determinar puntos de inflexión
Criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos
Asintotas de funciones
ii) Capítulo II: Aplicaciones de los extremos relativosProblemas de optimización
iii) Capitulo III: Aplicaciones físicas y geométricas.
Razón de cambio o tasa de cambio
•

Unidad 2: “Integración”

i) Capítulo I: Integrales indefinidas
Concepto de Antiderivada y Constante de integración.
Integrales inmediatas y casi inmediatas: Fórmulas básicas de integración.
Determinación de la constante de integración por medio de condiciones inicialesTécnicas de integración I: Sustitución simple
Técnicas de integración II: Integración por partes
Técnicas de integración III: Integración de funciones racionales: Fracciones
Parciales
Técnicas de integración IV: Uso de Formulario Larsen
ii) Capitulo II: Integrales Definidas
Concepto de integral definida y límites de integración.
Teorema Fundamental del Cálculo
Propiedades de la integralindefinida

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Unidad 3: “Aplicaciones de la Integral”

i) Capitulo I: Cálculo de Áreas de Regiones Planas
Coordenadas Rectangulares
Coordenadas Polares
ii) Capítulo II: Longitud del Arco
Cálculo de la longitud de una curva
iii) Capítulo III: Cálculo de Volúmenes de Sólidos en Revolución
Método de losanillos
Método de las capas
iv) Capítulo IV: Integrales impropias
Convergencia y divergencia de integrales impropias
•

Unidad 4: Series infinitas
Criterios de convergencia y divergencia de series
Series de potencias: Intervalos de convergencia de series
Serie de Taylor

.
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Unidad 0: Repaso de CálculoI: “Derivadas”
• Definición de derivada.
La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente
límite, si existe:
f ( a + h) − f ( a )
f ′(a ) = lím
h→0
h
A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación
instantánea.

- Ejemplo 1:
Halla la derivada de la función f ( x) =

2
en el punto x = 3
x +1

Podemos seguir lossiguientes pasos:
1º.
2º.
3º.

4º.

2
21
==;
3 +1 4 2
2
2
f (3 + h) =
=
3 + h +1 4 + h
2
1 4 − 1.(4 + h)
−h
f (3 + h) − f (3) =
−=
=
4+h 2
2(4 + h)
2(4 + h)
−h
−h
−1
1
2( 4 + h )
lím
= lím
= lím
=−
h →0
h → 0 2h ( 4 + h)
h → 0 2( 4 + h )
h
8
f (3) =

• Función derivada.
La derivada de una función en un punto de abscisa x = a, asigna a dicho punto
un númeroreal, que es el valor de la derivada en dicho punto.
También podemos considerar una función que asocie a cada punto x, el valor de la
derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.
f ′( x) = lím
h→0

f ( x + h) − f ( x)
h

• Formulas de derivación:
Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes fórmulas:

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i) Derivada de una suma o diferencia: ( f ± g ) ′ = f ′ ± g ′
ii) Derivada de un producto:

( f .g ) ′ = f ′.g + g ′. f

′
f
f ′.g − g ′. f
iii) Derivada de un cociente:   =
g
g2

- Ejemplo 2:
Sean las funciones f ( x) = x 2 ; g ( x) = 4 x
( x + h) 2 − x 2
f ( x + h) − f ( x )
x 2 + 2 xh + h 2 − x 2
= lim...