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5

FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS

Página 128
1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la
página siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de π radianes?
2
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270°?
b)

c)

360° π·
= 90°
2π
2

360°
= 57° 17' 44,8"
2π

d)

a) 2π

270°
· 2π = 3 π
360°
2

Página 129
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30°

b) 72°

c) 90°

d) 127°

e) 200°

f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal.
Por ejemplo: 30° = 30 · π rad = π rad ≈ 0,52 rad
180
6
a)

2π · 30° = π rad ≈ 0,52 rad
360°
6

b) 2π · 72° = 2πrad ≈ 1,26 rad
360°
5
c)

2π · 90° = π rad ≈ 1,57 rad
360°
2

d) 2π · 127° ≈ 2,22 rad
360°
e) 2π · 200° = 10π rad ≈ 3,49 rad
360°
9
f)

2π · 300° = 5π rad ≈ 5,24 rad
360°
3

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

63

3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad

b) 0,83 rad

c) π rad
5

d) 5π rad
6

e) 3,5 rad

f ) π rad

a)

360°
· 2 = 114°35' 29,6"
2π

b)

360°
· 0,83 = 47° 33' 19,8"
2π

c)

360° π
·
= 36°
2π
5

d)

360° 5π
·
= 150°
2π
6

e)

360°
· 3,5 = 200° 32' 6,8"
2π

f)

360°
· π = 180°
2π

4. Completa la siguiente tabla y añade las razones trigonométricas (seno, coseno
y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado:
GRADOS

0°

30°
π
4

RADIANESGRADOS

60° 90°

210° 225°

2
π
3

270°
4
π
3

RADIANES

135° 150°
π

330° 360°
5
π
3

7
π
4

La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.
Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.

Página 133
1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (a – b) =cos (a + (–b)) = cos a cos (– b) – sen a sen (– b) =
= cos a cos b – sen a (– sen b) = cos a cos b + sen a sen b
2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:
tg (a + b) =
tg (a – b) = tg (a + (–b)) =
(*) Como

64

tg a + tg b
1 – tg a tg b

tg a + tg (– b) (*) tg a + (–tg b)
tg a – tg b
=
=
1 – tg a tg (– b)
1 – tg a (– tg b)
1 + tg a tg b

sen (– a) = –sen a °
¢ 8 tg(– a) = –tg a
cos (– a) = cos a £
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

UNIDAD

5

3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes fórmulas:
sen (a – b) = sen a cos b – cos a sen b
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
tg (a – b) =

sen (a – b)
sen a cos b – cos a sen b (*)
=
=
cos (a – b)
cos a cos b + sen a sen b

sen a cos b
cos a sen b
—————— – ——————cos a cos b
cos a cos b
tg a – tg b
=
=
1 + tg a tg b
cos a cos b
sen a sen b
—————— + ——————
cos a cos b
cos a cos b
(*) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b.
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,
utilizando las fórmulas (I) y (II).
• sen 12° = 0,2cos 12° = √ 1 – sen 2 12° = √ 1 – 0,04 = 0,98
0,2
tg 12° =
= 0,2
0,98
• sen 37° = 0,6
cos 37° = √ 1 – sen 2 37° = √ 1 – 0,36 = 0,8
0,6
tg 37° =
= 0,75
0,8
• 49° = 12° + 37°, luego:
sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
tg 12° +tg 37°
0,2 + 0,75
tg 49° = tg (12° + 37°) =
=
= 1,12
1 – tg 12° tg 37°
1 – 0,2 · 0,75
49°
(Podría calcularse tg 49° = sen 49° ).
cos
• 25° = 37° – 12°, luego:
sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° =
= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428
cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° =
= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904
tg 37° – tg 12°
0,75 – 0,2...