eruclides

Resumen
El propósito de este artículo es presentar el contexto y la
evolución del sistema axiomático propuesto por el gran
matemático griego Euclides, utilizando como base su libro I de los Elementos. La visión moderna de axiomas
difiere sustancialmente de la que los define como verdades evidentes y sus resultados han tenido un impacto
fundamental en muchas disciplinas. Incluimos lasimplicaciones que esta gran obra de geometría ha tenido sobre
la enseñanza de geometría elemental.

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Introducción

Las matemáticas primitivas empezaron con cálculos matemáticos de números específicos, números especiales como π y
procesos particulares aritméticos, geométricos o algebraicos,
todo esto apoyado más en el cálculo numérico que en el rigor
deductivo, lo cual es una manera distinta decomo procedemos hoy día en matemáticas modernas. Véanse por ejemplo las tablas de números pitagóricos contenidas en [5] y las
multiplicaciones egipcias descritas por los romanos en [10].
Destacan en este sentido las matemáticas de muchas civilizaciones antiguas, como la babilonia y la egipcia. Mención
aparte merece la matemática china y la hindú; sus descubrimientos matemáticos, realizados antesque sus contemporáneos del oeste [11,8] son considerados independientes.
Euclides, quien vivió alrededor del año 300 a.C. en Alejandría es uno de los más prominentes matemáticos de la antigüedad por los Elementos que llevan su nombre. La naturaleza de este tratado de matemáticas hace que Euclides sea
considerado como uno de los matemáticos más destacados de
todos los tiempos. Fue el primero endefinir un sistema axiomático el cual consiste en proponer axiomas, los que se utilizan para derivar resultados, llamados teoremas o en el caso
de Euclides, proposiciones. Su belleza inherente está en el
1 Proyecto CONACYT 2005 # 25749: “Estudio de Variedades Diferenciables a través de geodésicas y ramilletes”.

desarrollo lógico de la geometría, aparte de los resultados que
obtuvo. Su mayorcontribución fue encontrar y organizar una
base común (axiomas) que permitiera demostrar los resultados conocidos en su época, utilizando un razonamiento deductivo.
En este artículo enfatizamos que la pregunta ¿verdad evidente o falsedad?, aplicada por ejemplo a definiciones o a
axiomas, no tiene sentido. En un sistema axiomático moderno
los axiomas, aplicados a elementos indefinidos, se escogeny
no se prueban. Utilizaremos como ilustración el sistema axiomático contenido en el libro primero de Euclides. También
incluiremos una discusión sobre algunos libros de geometría
elemental.

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Elementos de Euclides, Libro I

Euclides, conocido como “El Padre de la Geometría” fue un
matemático griego del período Helenístico que destacó en
Alejandría, Egipto, casi con total seguridaddurante el reinado
de Ptolomeo I (del 323 a.C. al 283 a.C.).
Los Elementos de Euclides están constituídos por 13 libros. En el primero de ellos, el conocimiento geométrico disponible fue organizado sistemáticamente por Euclides. Aunque algunos de los resultados contenidos en los Elementos
pueden no ser de su autoría, antes que él las demostraciones
distaban mucho de ser como se presentan enesta gran obra.
El libro I consta de las siguientes partes:
1. Definiciones previas.
2. Axiomas o Postulados.
3. Nociones Comunes.
4. Proposiciones o Teoremas.
En seguida, analizaremos cada una de ellas aunque no en
ese orden.
CARTA INFORMATIVA

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2.1

Definiciones previas

En el libro I Euclides presenta 23 definiciones [4,9]. A continuación presentamos las cuatro que nos parecen demayor
interés.
1: Un punto es aquello que no tiene parte.
2: Una línea es una longitud sin anchura.
4: Una línea recta es aquella que yace por igual respecto
de los puntos que están en ella.
23: Las líneas rectas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano, se continuan indefinidamente
en las dos direcciones y no se cortan en ninguna de las
dos direcciones.
Muchos libros de...