esferas

UNIDAD 2 Geometría

2.7

2.7 Cilindros, conos, esferas y pirámides

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Cilindros, conos, esferas y pirámides

OBJETIVOS


Calcular el área y el volumen de cilindros, conos, esferas y pirámides regulares



Resolver problemas de solidos inscritos y circunscritos.



Resolver problemas en los cuales los modelos se construyen utilizando las fórmulas de
áreas y volúmenes de sólidos.

En éstasección se estudiará como calcular el volumen y el área del cilindro, el cono, la esfera y las
pirámides regulares. Al igual que la sección anterior, el desarrollo de los contenidos es informal y no se
presentan las deducciones de las fórmulas; algunas de ellas son intuitivas mientras que otras requieren
del cálculo integral para ser demostradas.

El cilindro
Un cilindro es un sólido que tiene dosbases circulares iguales contenidas en planos paralelos. La
superficie lateral o área lateral del cilindro está formada por todos los puntos que unen las dos bases
del cilindro. El eje del cilindro circular es el segmento que une los dos centros de las bases. Si el eje es
perpendicular a las bases el cilindro se llama cilindro circular recto, mientras que cuando el eje no es
perpendicular a las basesse llama cilindro oblicuo. La altura h del cilindro circular es el segmento
perpendicular a las dos bases. El radio r del cilindro es el radio de cualquiera de las bases iguales. En la
figura se muestra un cilindro circular recto.

h

r

Las fórmulas para calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro se obtienen de la
misma forma que las de un prisma recto, es decir que elárea lateral es el perímetro de la base multiplicado
por la altura, mientras que el área total es el área lateral más el área de las dos bases circulares iguales.
A.L.  2 r  h

A.T .  2hrh  2 r2
El volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura, es decir

V   r 2  h

El cono
Es un sólido que se forma con una base en forma de círculo y un punto fuera del círculo llamadovértice.
El eje del cono es el segmento de recta que va del vértice al centro de la base circular. La altura h del
cono es el segmento perpendicular a la base que une a ésta con el vértice. Si el eje del cono es perpendicular
a la base el cono se llama cono circular recto, mientras que si el eje no es perpendicular a la base el
cono se llama cono oblicuo.

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2.7 Cilindros,conos, esferas y pirámides

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En un cono circular recto, se llama generatriz al segmento que va del vértice a un punto en la
circunferencia de la base. La figura muestra un cono circular recto.

g

h

r
La superficie lateral o área lateral de un cono está formada por todos los puntos que se obtienen al
unir el vértice con cualquier punto de la circunferencia en la base del cono. El área lateral delcono está
dada por
A.L.  2 r  g

Donde g es la generatriz que se puede calcular por el teorema de Pitágoras, g 

r2  h2 , entonces

A.L.   2 r  r 2  h2
El área total del cono se obtiene al sumar el área lateral con el área de la base

A.T .   2 r  r 2  h2   r 2
La fórmula para calcular el volumen del cono es la tercera parte del área de la base multiplicada por
la altura
V  1 r 2  h
3

La Esfera
Una esfera es un sólido que está formado por todos los puntos en el espacio que están a una misma
distancia de un punto fijo llamado centro de la esfera. Esta distancia se llama radio de la esfera. La
figura siguiente muestra una esfera de radio r
r

Las fórmulas para calcular el área superficial y el volumen de una esfera son

A  4 r2
V  4  r3
3

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Ejemplo 1: El cilindro inscrito en una esfera
Se inscribe un cilindro circular recto dentro de una esfera de radio 8
cm, como se muestra en la figura. Si la altura del cilindro es el doble
de su diámetro, calcule el volumen del cilindro.

Solución
Para establecer como se relacionan la altura y el radio del cilindro con el radio de la
esfera, es...