Esfuerzo-Resistencia De Materiales

ESTADO DE GENERAL DE ESFUERZO:
Se considera que una partícula se encuentra en estado general de esfuerzo, cuando por cada una de sus caras, actúan 3 esfuerzos: 1 en la dirección normal al plano y los otros 2 de forma tangente a este.

ESFUERZO PLANO:
Se dice que una partícula se encuentra sometida a esfuerzo plano, cuando, todas las magnitudes de los esfuerzos en la dirección “Z” soncero(0).

TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO
Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo .

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente x’ y’ x’y’ que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Suma de fuerzas en la dirección x’ :
x’ da = x da cos  cos  + y dasen  sen  + xy da cos  sen  + xy sen  cos 
x’ = x sen2 + y cos2 + 2 xy cos  sen 
x’ = ( x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2) + xy (sen 2)
Suma de fuerzas en la dirección y’ :
x’y’ da = y da cos  sen  - xy da sen  sen  + xy cos  cos  - x da sen  cos 
x’y’ = y cos  sen  - xy sen2 + xy cos2- x sen  cos x’y’ = xy (cos 2) - ( x - y )/2 (sen 2)
Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.
ESFUERZOS PRINCIPALES
Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales comolos de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.
El esfuerzo normal máximo se deduce derivando x’ con respecto al ángulo  :
dx’ /d = 0 = - ( x - y ) (sen 2) + 2 xy (cos 2)
tan 2 = 2 xy / ( x - y )
La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen :  y  + 90
Al evaluar usando estos valores para el ángulo  seobtienen los esfuerzos normales máximo ( 1) y mínimo (2). Es importante destacar que si se iguala x’y’ = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (1 y 2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.
En definitiva :
1 , 2 = ( x + y ) / 2 + / -
El esfuerzo cortante máximo se obtiene deforma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo .
dtx’y’ / d = 0 = -2 xy (sen 2) - ( x - y ) (cos 2)
tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy
Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva :
1 y 2 = + / -
CIRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIONES:
Las ecuaciones desarrolladas en los puntosanteriores pueden reescribirse para formar una ecuación de circunferencia:
Se tiene que:
x’ = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
x’y’ = xy (cos 2) - (( x - y )/2 ) (sen 2)
La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma:
x’ - ( x + y )/2 = (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
Elevando al cuadrado se tiene:
(x’ - (x +y)/2)2 =(x - y)2/4 (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy (sen 2) + xy2 (sen 2)2
Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene :
x’y’2 = xy2 (cos 2)2 - xy (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4 (sen 2)2
Sumando ambas expresiones :
(x’ - ( x + y )/2)2 + x’y’2 = xy2 + (( x - y )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema,se tiene entonces :
xy2 + (( x - y )2/2)2 = b2
( x + y )/2 = a
Reescribiendo queda :
(x’ - a)2 + x’y’2 = b2
Si los ejes son :
x = x’
y = x’y’
Tenemos :
( x - a )2 + y2 = b2
Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b
Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes...