ESPACIO VECTORIAL 1
Páginas: 3 (580 palabras)
Publicado: 28 de septiembre de 2015
ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
Cualquier conjunto que posea unasoperaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetosdiferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
PROPIEDADES
Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w =u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v.
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β (αv) = (β α) v
• Distributivas:
Respecto de la suma de escalares: (α+β) v = αv +β v
Respecto de la suma de vectores: α (u +v) = αu +αv
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
EJEMPLOS
1.- Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneode m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un subespacio de .
Solución.
Sea S el conjunto de soluciones del sistema
S es no vacío ya que es una solución. Sea y dos soluciones arbitrarias. EntoncesPara
Entonces es solución.
Para la solución b y el escalar , tenemos
Para
Entonces es solución.
De donde S es un subespacio de .
2.- Sea y , subconjuntosde . U y W geométricamente representan dos planos en el espacio que pasan por el origen.
El lector debe probar que U y W son subespacios de .
La intersección de U y W es el conjunto de que satisface las propiedades...
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
Cualquier conjunto que posea unasoperaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetosdiferentes a los vectores de la Física.) Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
PROPIEDADES
Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w =u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v.
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β (αv) = (β α) v
• Distributivas:
Respecto de la suma de escalares: (α+β) v = αv +β v
Respecto de la suma de vectores: α (u +v) = αu +αv
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
EJEMPLOS
1.- Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneode m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un subespacio de .
Solución.
Sea S el conjunto de soluciones del sistema
S es no vacío ya que es una solución. Sea y dos soluciones arbitrarias. EntoncesPara
Entonces es solución.
Para la solución b y el escalar , tenemos
Para
Entonces es solución.
De donde S es un subespacio de .
2.- Sea y , subconjuntosde . U y W geométricamente representan dos planos en el espacio que pasan por el origen.
El lector debe probar que U y W son subespacios de .
La intersección de U y W es el conjunto de que satisface las propiedades...
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