Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales.
4.1 Definición de espacio vectorial.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
4.4 Base y dimensión de unespacio vectorial, cambio de base.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.













EspaciosVectoriales.

Combinación lineal. Independencia lineal.

Independencia lineal
En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de losvectores.

EjemploDependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen nescalares no todos cero tales que
C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0

Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.

TEOREMA 1
Dos vectores en unespacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

TEOREMA 2
Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.

TEOREMA 3A=


Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales.TEOREMA 4
Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y sólo si la únicasolución al sistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0.

TEOREMA 5
Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

TEOREMA 6Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn

Ejemplo Dos vectores linealmente dependientes en R4







Los vectores v1= y v2= son...