Espacio Vectorial
Páginas: 7 (1733 palabras)
Publicado: 9 de junio de 2012
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se detalla un resumen general dl espacio vectorial y el sistema de ecuaciones, en el cual se tratara de enlazar las relaciones de todos estos aspectos y la matemática.
Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta de que tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevosproblemas, sin tener una buena base de los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podríamos realizar los problemas de otros temas no presentes en este trabajo ejemplo “los valores y vectores propios” en este se necesita que se domine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este tema ya que están grandemente relacionados .
ESPACIO VECTORIAL
Es una estructuraalgebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
Definición
los números complejos) es un conjunto [pic] no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales serácerrado:
[pic]
Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
[pic] [pic]
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
[pic] [pic]
3) tenga elemento neutro [pic], es decir
[pic] [pic] [pic]
4) tenga elemento opuesto, es decir
[pic] [pic]
y la operación producto por un escalar:
[pic]
Operación externa tal que:
5) tenga la propiedadasociativa:
[pic] [pic] [pic]
6) tenga elemento neutro 1:
[pic] [pic]
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
[pic] [pic] [pic]
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
[pic] [pic] [pic]
Observaciones
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por loque es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y sustracción para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto [pic] es un espacio vectorial:
▪ Si supiésemos que [pic] es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
▪ Sisupiésemos que el producto es una acción por la izquierda de [pic] tendríamos probados los apartados 5 y 6.
▪ Si no se dice lo contrario:
[pic].
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos vectores neutros, entonces:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos vectores opuestos de [pic], entonces, como el neutro es único:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del elemento [pic] en el cuerpo [pic]:
Supongamos que 1 no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos unidades, entonces:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo [pic]:
supongamos que elinverso [pic] de a, no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos opuestos de [pic], entonces, como el neutro es único:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Producto de un escalar por el vector neutro:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Producto del escalar 0 por un vector:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Si [pic] [pic]
▪ Si [pic] es cierto.
▪ Si [pic] entonces:[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Notación
[pic].
Observación
[pic]
▪ Si [pic] [pic]
▪ Si [pic] [pic]
EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
▪ [pic] es un espacio vectorial de dimensión uno sobre [pic].
Todo cuerpo es un espacio...
En el presente trabajo se detalla un resumen general dl espacio vectorial y el sistema de ecuaciones, en el cual se tratara de enlazar las relaciones de todos estos aspectos y la matemática.
Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta de que tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevosproblemas, sin tener una buena base de los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podríamos realizar los problemas de otros temas no presentes en este trabajo ejemplo “los valores y vectores propios” en este se necesita que se domine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este tema ya que están grandemente relacionados .
ESPACIO VECTORIAL
Es una estructuraalgebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
Definición
los números complejos) es un conjunto [pic] no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales serácerrado:
[pic]
Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
[pic] [pic]
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
[pic] [pic]
3) tenga elemento neutro [pic], es decir
[pic] [pic] [pic]
4) tenga elemento opuesto, es decir
[pic] [pic]
y la operación producto por un escalar:
[pic]
Operación externa tal que:
5) tenga la propiedadasociativa:
[pic] [pic] [pic]
6) tenga elemento neutro 1:
[pic] [pic]
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
[pic] [pic] [pic]
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
[pic] [pic] [pic]
Observaciones
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por loque es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y sustracción para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto [pic] es un espacio vectorial:
▪ Si supiésemos que [pic] es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
▪ Sisupiésemos que el producto es una acción por la izquierda de [pic] tendríamos probados los apartados 5 y 6.
▪ Si no se dice lo contrario:
[pic].
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos vectores neutros, entonces:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos vectores opuestos de [pic], entonces, como el neutro es único:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del elemento [pic] en el cuerpo [pic]:
Supongamos que 1 no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos unidades, entonces:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo [pic]:
supongamos que elinverso [pic] de a, no es único, es decir, sean [pic] y [pic] dos opuestos de [pic], entonces, como el neutro es único:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Producto de un escalar por el vector neutro:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Producto del escalar 0 por un vector:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Si [pic] [pic]
▪ Si [pic] es cierto.
▪ Si [pic] entonces:[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Notación
[pic].
Observación
[pic]
▪ Si [pic] [pic]
▪ Si [pic] [pic]
EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
▪ [pic] es un espacio vectorial de dimensión uno sobre [pic].
Todo cuerpo es un espacio...
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