Espacio Vectorial

ESPACIO VECTORIAL
4.1.-Definición de espacio vectorial:
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A loselementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga lapropiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4)tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa::

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga lapropiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:


8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:


4.2.-Definicion de subespacio vertorial y sus propiedades:
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espaciovectorial con las mismas operaciones que V.
Dimenciones de subespacio Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los sub espacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del sub especio menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un sub espacio de dimensión 1.
Luego , .
Y sus propiedades son :
Tienes quedemostrar tres cosas:
1) Que 0 pertenece al sub espacio
2) Que la suma de dos elementos del sub espacio también pertenece al sub espacio
3) Que el producto de un escalar por un elemento del sub espacio también pertenece al sub espacio.
Por ejemplo, el plano 3x+y+2z=4 no es un subespacio de R3 pues el cero no pertenece al plano. Otro ejemplo, la recta λ(1,0,-1) es un subespacio de R3. Ahoratenés que probar las tres condiciones. La primera es facil, basta tomar λ=0. Para probar la segunda elegí x e y que pertenezcan a la recta y mostrá que su suma también pertenece a la recta. Para la tercera usá λ=k, donde k es cualquier escalar y mostrá que también pertenece a la recta.

4.3.-Combinacion lineal, Independencia lineal
Combinación lineal vector se dice que es combinación lineal deun conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: . Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sinmás que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.
Independencia lineal
Si y1(x) y y2(x) son proporcionales en el intervalo sonlinealmente independientes en el mismo.
si y1/y2 es una constante entonces las funciones son linealmente dependientes.
Si y1/y2 es una funcion de x, entonces las funciones son linealmete independientes.
ejemplos:
1).- y1=x y2=2x y1/y2=x/2x=1/2 entonces es linealmente dependientes
Las funciones y1(x1), y2(x2),…,yn(xn)
son linealmente dependientes en el intervalo, si al menos una de...