Espacio Vectorial

ESPACIO VECTORIAL
1. DEFINICIÓN:
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna, llamada suma, definida para los elementos del conjunto y una operación externa, llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático; con 8 propiedades fundamentales.

1.1 EJEMPLO:


2. PROPIEDADES BÁSICAS DEUN ESPACIO VECTORIAL

1. Para cualquiera dos vectores u y v en V
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

2. Para cualquiera dos vectores u y v en V
Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:
El orden de los sumandos no altera elresultado de la suma.

3. Para cualquiera tres vectores u, v y w en V
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

4. Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple.

u + 0 = 0 +u = u
Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

5. Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple
u + (−u) = (−u) + u = 0
Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:
Cadaelemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.

6. Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares
El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también unelemento del conjunto.

7. Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple
c · (u + v) = (c · u) + (c · v)
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por elvector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.

8. Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple
(a + b) · u = (a · u) + (b · u)
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.


9. Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en Rse cumple

a · (b · u) = (a b) · u
Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.

10. Para cualquier vector u ∈ V se cumple.
1 · u = u
Cuando se elabora una argumentación en algún calculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos esque es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Se le pide al alumno que entiéndala lógica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones.
2.1. EJEMPLOS:
Axioma 1: X · Y ∈ V
Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x · y ∈ V
Axioma 2: x · y = y · x
Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por lapropiedad conmutativa del producto de números reales.
Axioma 3: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z
Efectivamente, pues x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y) ⊕ z = (x ⊕ y) ⊕ z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de números reales.












3. COMBINACIONES LINEALES Y VECTORES LINEALMENTE SIN DEPENDIENTES.

3.1. COMBINACIONES LINEALES:...