Espacios Conexos

Instituto Superior del Profesorado
“Dr. Joaquín V. González”


Departamento: Matemática
Materia: Seminario de Topología
Profesora:
• Rodríguez, Mabel
Curso y División: 4º C


Trabajo Práctico

Espacios Conexos

Alumno:
• Baulies, Leandro






Ciclo Lectivo 2010
Conocimientos previos necesarios

Clausura de un conjunto
Definiciones:
• [pic] (los puntos xno son necesariamente de A).
La clausura de un conjunto es el ‘menor’ de todos los conjuntos cerrados que contienen al A.
Propiedad: [pic] es cerrado.

Teorema: [pic].
Tomo un [pic] y veo si [pic]. Esto quiere decir que [pic] vale [pic].
Tomo [pic] por definición de clausura de A. Entonces, como [pic] resulta que [pic] que es lo qué queríamos demostrar.

Topología de subespacio otopología relativa
Definición:
• Sea (X; T) un espacio topológico, si Y es un subconjunto de X, la colección
[pic]
Es una base sobre Y denominada topología de subespacio o topología relativa. La base genera una topología TY que incluye a todos los abiertos relativos a Y.

Funciones Continuas
Definición:
• Sean (X; T1) y (Y; T2) espacios topológicos y f: (X; T1) [pic] (Y; T2) se diceque:
i) f es continua en a (a perteneciente a X) si y sólo si [pic] debe valer que [pic].
ii) f es continua si y sólo si [pic].
Observación: [pic] es un abierto de T2 que contiene a f(a). Esto dice que:
[pic]




Espacios conexos
Definiciones:
• Sea (X; T) un espacio topológico, X admite una separación {U, V} o se dice que {U, V} es una separación del espacio X , si ysolo si:
i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
• El espacio X es conexo si no admite una separación de X. (Es decir, que si puedo separarlo, no es conexo).

Resultados sobre espacios conexos

Lema: Si los conjuntos C y D forman una separación del espacio X, y además Y es un subespacio conexo de X, entonces, Y esta contenido en C o en D.
Hipótesis]
(X; T)espacio topológico
C y D partición de X
Y subespacio conexo de X
Tésis]
[pic]
Demostración]












Como C y D son abiertos en el espacio X, los conjuntos [pic]y [pic]son abiertos en la topología relativa a Y por definición de topología de subespacio o topología relativa. Estos dos conjuntos resultan disjuntos ya que C y D lo son (por ii) y su uniónes Y. Esto quiere decir que:
[pic]
Si los conjuntos [pic]y[pic] fueran ambos no vacíos, constituirían una separación de Y (por definición de conexión). De esta manera, alguno de dichos conjuntos es vacío, [pic]. En el caso de cumplirse que [pic] entonces [pic]; en caso de que [pic] resulta que [pic]. Por lo tanto, Y está contenido enteramente en C o en D.

Teorema: La unión de unacolección de subespacios conexos del espacio X que tienen un punto en común es conexa.
Hipótesis]
(X; T) espacio topológico
[pic] Familia de conjuntos conexos del espacio X
[pic]
Tésis]
[pic]es conexa
Demostración]














Supongo que existen abiertos C y D, que conforman una separación de [pic], entonces, el punto p está en C o en D ([pic]). Supongo que [pic]; comolos [pic]son conexos, o bien [pic] ya que por ser conjuntos conexos no admiten separación. La última posibilidad queda descartada ya qué p pertenece a [pic] por pertenecer a la intersección de los [pic](por hipótesis); en consecuencia, p pertenece a unión de los [pic] ([pic]) y, por suposición, [pic]. Como los [pic]son conexos, por el lema anterior, [pic] para cada [pic], así, [pic], lo quecontradice que D era no vacío, ya que [pic] (iii).

Teorema: Sea A un subespacio conexo de X. Si [pic], entonces B es también conexo.
Hipótesis]
(X; T) espacio topológico
[pic]conexo/[pic]
Tésis]
B es conexo
Demostración]












Supongo que existen abiertos C y D, que conforman una separación de [pic]. Como [pic] y A conexo por hipótesis, entonces, por el lema...