Espacios vectoriales, base y dimension, y ejercicios

Tema 1 Espacios Vectoriales.

1.1.

Definici´n de Espacio Vectorial o

Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´meros Naturales, u Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente. Definici´n 1.1.2. Sea R el conjunto de los n´meros reales. Un espacio vectorial sobre o u R consta de un conjunto no vac´ V , una ley de composici´n interna sobre V , ‘+’, y unaıo o aplicaci´n de R × V en V , ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades: o (1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo ⃗ , ⃗ , w ∈ V , u v ⃗ • (1.1) ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ . (Conmutativa). u v v u • (1.2) ⃗ + (⃗ + w) = (⃗ + ⃗ ) + w. (Asociativa). u v ⃗ u v ⃗ • (1.3) Existe ⃗ ∈ V tal que para todo ⃗ ∈ V , ⃗ + ⃗ = ⃗ . (Elemento neutro). 0 u 0 u u • (1.4) Para todo ⃗ ∈ V , existe ⃗ ′∈ V tal que ⃗ + ⃗ ′ = ⃗ (opuesto de ⃗ ). u u u u 0 u (2) Para todo ⃗ , ⃗ ∈ V y para todo α, β ∈ R, u v • (2.1) α · (⃗ + ⃗ ) = α · ⃗ + α · ⃗ . u v u v • (2.2) (α + β) · ⃗ = α · ⃗ + β · ⃗ . u u u • (2.3) α · (β · ⃗ ) = (α · β) · ⃗ . u u • (2.4) 1 · ⃗ = ⃗ . u u

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Notas 1.1.3. (1) Los elementos de V se denominar´n vectores y los de Rescalares. a (2) El elemento u′ cuya existencia asegura (1.4) es unico y se notar´ por −⃗ . ´ a u Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobre R: M (n × m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m columnas). Un conjunto con un unico elemento {⃗ es un espacio vectorial que llamaremos ´ 0} espacio vectorial trivial. El conjunto R[X] de los polinomios en X, de grado menor o igualque n, con coeficientes en R es un espacio vectorial sobre R. Proposici´n 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo ⃗ , ⃗ ∈ V y todo o u v α, β ∈ R se verifica que: (1) α · ⃗ = ⃗ 0 0. (2) 0 · ⃗ = ⃗ u 0. (3) α · (⃗ − ⃗ ) = α · ⃗ − α · ⃗ . u v u v (4) (α − β) · ⃗ = α · ⃗ − β · ⃗ . u u u (5) (−α) · ⃗ = −α · ⃗ . u u

Definici´n 1.1.6. Llamaremos espacio num´rico sobre R, de dimensi´n n, alconjunto: o e o Rn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ R, i = 1, . . . , n} En Rn definimos las siguientes operaciones: (1) (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ). (2) a · (a1 , . . . , an ) = (a · a1 , . . . , a · an ). Nota 1.1.7. Los elementos de Rn se denominan vectores y los notaremos por ⃗ , ⃗ , . . .. u v Proposici´n 1.1.8. Rn es un espacio vectorial sobre R. o

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1.2.

Subespacios vectoriales

Definici´n 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L ⊂ V (L ̸= ∅) es un o subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composici´n o interna y externa de V , es un espacio vectorial. Proposici´n 1.2.2. L ⊂ V es subespacio vectorial de V si y s´lo si. o o(a) ∀⃗ , ⃗ ∈ L ⇒ ⃗ + ⃗ ∈ L. u v u v (b) ∀⃗ ∈ L, ∀α ∈ R ⇒ α · ⃗ ∈ L. u u Condiciones que se pueden resumir en una sola: ∀α, β ∈ R , ∀⃗ , ⃗ ∈ L ⇒ α · ⃗ + β · ⃗ ∈ L. u v u v

1.3.

Dependencia lineal

Definici´n 1.3.1. Diremos que ⃗ ∈ V es combinaci´n lineal de ⃗1 , . . . , ⃗n ∈ V si existen o v o v v α1 , . . . , αn ∈ R tales que: ⃗ = α1 · ⃗1 + · · · + αn · ⃗n v v v Ejemplos 1.3.2. . (1) ⃗ escombinaci´n lineal de cualquier conjunto de vectores. 0 o (2) ⃗ es combinaci´n lineal de cualquier conjunto que contenga a ⃗ . u o u (3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinaci´n lineal de los o polinomios {1, x, x2 , . . . , xn }.

Definici´n 1.3.3. Sea A ⊂ V . Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se o designa por L(A), al conjunto de todas las combinacioneslineales de un n´mero finito de u elementos de A. Si A = ∅, se define L(∅) = {⃗ 0}.

Proposici´n 1.3.4. . o (1) L(A) es un subespacio vectorial de V .

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(2) L(A) ⊃ A. (3) Si A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B). (4) Si A es un subespacio vectorial de V , entonces L(A) = A. (5) L(L(A)) = L(A).

Definici´n 1.3.5. Diremos que V es un espacio...