Espacios Vectoriales Ejercicios Resueltos

23

Espacios vectoriales

Cap tulo 2 Espacios vectoriales
1. Sea R0 el grupo multiplicativo de los numeros reales estrictamente positivos. Probar que R0 R0 R0 es un R-espacio vectorial con las operaciones siguientes:
8(x y z) (x1 y1 z1) 2 R0 R0 R0
8 2R
(x y z ) (x1 y1 z1 ) = (x x1 y y1 z z1 )
(x y z ) = (x y z )
En caso de ser dimension nita determinar una base

Solucion:
Es facil probar que conla operacion el conjunto R0 R0 R0 es un grupo abeliano:
Asociatividad

8(x y z) (x1 y1 z1) (x2 y2 z2) 2 R0 R0 R0
(x y z ) ((x1 y1 z1 ) (x2 y2 z2 )) = (x y z ) (x1 x2 y1 y2 z1 z2 ) =
= (x (x1 x2 ) y y1 y2 ) z z1 z2 )) = ((x x1 ) x2 (y y1 ) y2 (z z1 ) z2 ) =
= (x x1 y y1 z z1 ) (x2 y2 z2 ) = ((x y z ) (x1 y1 z1 )) (x2 y2 z2 )
(Esta propiedad nos permite escribir (x y z ) (x1 y1 z1 ) (x2 y2 z2 ) )Conmutatividad

8(x y z) (x1 y1 z1) 2 R0 R0 R0
(x y z ) (x1 y1 z1 ) = (x x1 y y1 z z1 ) = (x1 x y1 y z1 z ) =
= (x1 y1 z1 ) (x y z )
Elemento neutro
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

24

Algebra Lineal. Problemas resueltos

8(x y z) 2 R0 R0 R0
(1 1 1) (x y z ) = (1 x 1 y 1 z ) = (x y z )
Elemento simetrico

8(x y z) 2 R0 R0 R0 9(1=x 1=y 1=z) 2 R0 R0 R0 tal que
(x y z ) (1=x 1=y 1=z ) = (x1=x y 1=y:z 1=z ) = (1 1 1)
Veamos ahora que la operacion externa veri ca las cuatro propiedades necesarias para
que el conjunto sea un espacio vectorial:
Primera ley distributiva

8 2 R 8(x y z) (x1 y1
((x y z )
= ((x x1 )
= (x y z

z1 ) 2 R0 R0 R0
(x1 y1 z1 )) = (x x1 y y1 z z1 ) =
(y y1 ) (z z1 ) ) = (x x1 y y1 z z1 ) =
) (x1 y1 z1 ) = ( (x y z )) ( (x1 y1 z1 ))

Segunda ley distributiva

8

2R 8(x y z) 2 R0 R0 R0
( + ) (x y z ) = (x + y + z + ) = (x x y y z z ) =
= (x y z ) (x y z ) = ( (x y z )) ( (x y z ))

Asociatividad de los escalares

8

2 R 8(x y z) 2 R0 R0 R0
( ) (x y z ) = (x y
= ((x ) (y ) (z ) ) =
= ( (x y z ))

z )=
(x y z ) =

Propiedad del elemento unidad del cuerpo

8(x y z) 2 R0 R0 R0
1 (x y z ) = (x1 y 1 z 1 ) = (x y z )
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.25

Espacios vectoriales

luego, en efecto R0 R0 R0 es un R-espacio vectorial.
Veamos cual es su dimension y si es posible, determinemos una base.
Sabemos que 8x 2 R0 x = elog x , luego 8(x y z ) 2 R0 R0 R0 , se tiene
(x y z ) = (elog x elog y elog z ) = (elog x 1 1) (1 elog y 1) (1 1 elog z ) =
= (log x (e 1 1)) (log y (1 e 1)) (log z (1 1 e))
luego los vectores (e 1 1) (1 e 1) (1 1 e) 2 R0generadores.

R0 R0 forman un sistema de

Claramente son independientes, veamos:
de

(

1

(e 1 1)) (

2

(1 e 1)) (

3

(1 1 e)) = (1 1 1)

tenemos
(e 1 e 2 e 3 ) = (1 1 1)

)

e i = 1 8i = 1 2 3 )

i = 0 8i = 1 2 3

por lo que forman una base de dicho espacio vectorial.

2. Demostrar que el conjunto E de las sucesiones numericas
u = (u1 u2

un

) = (un)

n2N

de numeros reales provista de dos leyes decomposicion, una interna + y una externa
, de nidas mediante:

8u v 2 E 8 2 R

u + v = (un + vn) 8n 2 N
u = ( un ) 8n 2 N

es un espacio vectorial.

Solucion:
Primero, probaremos que la operacion (interna) + dota a E de estructura de grupo
abeliano
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

26

Algebra Lineal. Problemas resueltos

Asociatividad

u + (v + w) = (un + (v + w)n) = (un + (vn + wn ))(1)
=
= ((un + vn ) + wn ) = ((u + v )n + wn ) = (u + v ) + w
(1)

R tiene estructura de grupo, con la operacion +

Conmutatividad

(u + v ) = (un + vn ) = (vn + vn ) = (v + u)

Existencia de elemento neutro
veamos que existe e 2 E tal que u + e = u 8u 2 E
si u + e = (un + en ) = u 8u 2 E , entonces un + en = un 8n 2 N , de donde
en = 0 8n 2 N y e = (0 0 : : : 0 : : :) , luego e existe y esunico.
Existencia de elemento simetrico
hemos de ver que 8u 2 E existe u;1 tal que u + u;1 = e
si u + u;1 = (un + u;n 1 ) = e , entonces un + u;n 1 = 0 8n 2 N , de donde u;n 1 =
;un 8n 2 N y u;1 = (;un ) luego u;1 existe y es unico.
Veamos ahora que la operacion (externa) veri ca las cuatro propiedades, necesarias
para que el grupo abeliano E sea un R -espacio vectorial
Primera ley distributiva

8u v...