Ejercicios resueltos de espacios vectoriales

EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 6
(Espacios vectoriales II)

1.-

Entre los espacios vectoriales U y V sobre el cuerpo R se considera la aplicación lineal

f : U → V dada por:

f(e1)=u1–2u2+u3
f(e2)=u2+u3+2u4
f(e3)=u1–u4
siendo BU={e1, e2, e3} una base de U y BV={u1, u2, u3,u4} una base de V. Si se consideran las
nuevas bases :
BU′ = {e1′ = ( e1 + 2e2 ) , e′2 = ( e 2 − e3 ) , e′3 = ( e1 + e2 + e3)}

y
BV′ = {u1′ = ( u1 + u 2 ) , u′2 = ( u 2 + u 3 ) , u′3 = ( u3 + u 4 ) , u′4 = u 4 }

se pide determinar la expresión matricial de la aplicación en las bases B′U y B′V .
Solución:
Siendo x = ( x1 , x2 , x3 ) un vector genérico de U referido a la base BU e y = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) un
vector genérico de V referido a la base BV, se tiene:
 y1   1
  
 y2  =  −2
 y3   1
  
 y4  0
Al realizar el cambio de base en U y en V:
 x1   1 0 1 x1′ 
  
 ′ 
 x2  =  2 1 1 x2  ;
 x   0 −1 1 x′ 
 3 
 3 

0 1
  x1 
1 0 
x2
1 0   
  x3 
2 −1

 y1   1
  
 y2  =  1
 y3   0
  
 y4   0

0
1
1
0

0
0
1
1

0   y1′ 
 
0   y2′ 
0   y3′ 
 
1  y4′ 

Por tanto:
1

1
0

0

0
1
1
0

0
0
1
1

0   y1′   1
  0   y2′   −2
=
0   y3′   1
  
1  y4′   0

0 1
  1 0 1 x1′ 
1 0
 
2 1 1 x2′ 
1 0  
 x′ 
  0 −1 1
3
2 −1

y la expresión de la aplicación lineal en las nuevas bases es:

 y1′   1
 ′ 
 y2  =  1
 y3′   0
  
 y4′   0

2.-

0 0 0

1 0 0
1 1 0

0 1 1

−1

1
 1 −1 2 
  1 0 1 x1′  
  x1′ 
1 0
 ′   −1 2 −3   ′ 
x
2 1 1x2  =
 4 −1 5   2 
1 0  


  0 −1 1 x3′  
  x3′ 
2 −1
 0 4 −4 

 1

 −2
 1

 0

0

En R 3 se considera el endomorfismo f que transforma el vector

( α1 , α 2 , α3 ) en

el

f ( α1 , α 2 , α3 ) = ( β1 ,β 2 ,β3 ) , refiriéndonos siempre a la base canónica. Sabiendo que:
f (1,1,1) = (1, 0,1) ;

f ( 0,1,1) = (1, 2,3) ;

f (1,1, 0 ) = ( 2, 2, 4 ) ,

se pide:
a)Determinar la expresión matricial del endomorfismo en la base canónica.
b) Obtener unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y una base de la
imagen de f.
c) Obtener unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y una base del
núcleo de f.

{

}

d) Se considera la base B = (1,1, 0 ) , ( 0,1,1) , ( 0, 0,1) .

Determinar la expresión

matricial de f en la base B.
Solución:
a)

f(1,1,1)

=

f ( 0,1,1) =
f (1,1, 0 ) =

f ( e1 + e 2 + e3 ) =

f ( e1 ) +

=
=

+
+

f ( e 2 + e3 )
f ( e1 + e 2 )

f ( e1 )

f ( e2 ) +

f ( e2 ) +
f ( e2 ) +

f ( e3 ) =

f ( e3 ) =
=

(1, 0,1) 
(1, 2, 3) 
( 2, 2, 4 )

de donde:

f ( e1 ) = ( 0, −2, −2 ) ;

f ( e2 ) = ( 2, 4, 6 ) ;

Por tanto, un vector de R 3 de componentes

f ( e3 ) = ( −1, −2, −3)

( α1 , α 2 , α3 )

componentes f ( α1 , α2 , α3 ) = ( β1 ,β 2 ,β3 ) mediante:

se transforma en el vector de

 β1   0 2 −1 α1 
  
 
 β2  =  −2 4 −2  α 2 
 β   −2 6 −3  α 
 3 
 3 
a)

β1 =

2α 2

β2 = −2α1
β3 = −2α1

+ 4α 2
+ 6α 2

−

α3 

− 2α3  Ecs. Paramétricas de Im( f ) .
− 3α3 

Si se eliminan α1 , α 2 y α 3 :

β1 + β2 − β3 = 0 Ecs. Implícitas de Im( f )
Una base de Im( f ) es:

{( −1,1, 0 ) ,(1, 0,1)}
c)

0=

2α 2

0 = −2α1 + 4α 2
0 = −2α1 + 6α 2

−

α3 

− 2α 3  Ecs. Implícitas de ker( f ) .
− 3α 3 

Si restamos la segunda ecuación a la tercera:

0=

2α 2

0 = −2α1 + 4α 2
0=
2α 2

−

α3 

− 2α3  ,
+ α3 

vemos que la primera y la tercera ecuaciones son iguales. Por tanto, unas ecuaciones
implícitas equivalentes a las primeras obetenidas son:

0 = −2α1 + 4α 2
0=

2α 2

− 2α3

+ α3 

Y tomando como parámetro α 3 :

α1 =

4α 2 = λ 

α2 =
α 2 = λ  Ecs. Paramétricas de ker( f ) .
α3 = −2α 2 = −2λ 
b) Realicemos el cambio de base dado en R 3 :
Un vector u de componentes ( x1 , x2 , x3 ) en la base canónica tiene por componentes

( y1 , y2 , y3 ) en la base B, es decir:

u = x1e1 + x2 e2 + x3e3 = y1ε1 + y2 ε 2 + y3ε3 = y1 ( e1 + e2 ) + y2 ( e2 + e3 ) + y3e3 =
=...