Espacios vectoriales

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

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ALGEBRA TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

CONTENIDOS • • INTRODUCCION 1 - ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios Propuestos • 2 - SUBESPACIOS Ejercicios propuestos • 3 - COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO Ejercicios propuestos • 4 - DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Ejercicios Propuestos • 5 - BASE Y DIMENSION Ejercicios Propuestos • 6 – RANGO DEUNA MATRIZ Ejercicios Propuestos • RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

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INTRODUCCION El material que se presenta a continuación es un material elaborado para que sirva de guía a los estudiantes de las carreras de Ingeniería para la resolución de situaciones prácticas de Algebra Lineal. Elmismo se encuentra organizado por temas, siendo este cuadernillo el que corresponde a la primera mitad del curso, que consta de los siguientes temas: espacios vectoriales, subespacios, combinación lineal y sistema generado, dependencia e independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial y se corresponde con las Unidades Nº 3 y 4 de los contenidos de la asignatura y de los TrabajosPrácticos Nº 2 y 3. Los temas que se tratan en este material están organizados de la siguiente manera: • • • Introducción Teórica: se presentan los conceptos necesarios para la resolución de las situaciones planteadas. Resolución de ejercicios: se presentan como ejemplos ejercicios correspondientes a cada tema tratado. Interpretación Geométrica: se presenta en casos que es necesario para aclarar conceptoso para que el lector relacione los conceptos del álgebra lineal con otras ramas de las matemáticas. Dicha interpretación facilita la resolución de problemas en los espacios R2 y R3 y sus resultados o conclusiones se pueden interpolar a espacios abstractos como Rn • Ejercicios Propuestos: Se proponen ejercicios de diferentes grados de dificultad, en los que el objetivo es que el lector losresuelva no solo aplicando algoritmos matemáticos si no que preferentemente lo haga a través de la aplicación de Propiedades, Leyes o Teoremas del Algebra Lineal. • Al final del cuadernillo se presentan un Apéndice donde se aclara la notación que se utiliza en el mismo y se presentan los resultados de los ejercicios propuestos.

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1 - ESPACIOSVECTORIALES Sea V es un conjunto de objetos, llamados vectores, sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares (números). Por adición (+) se entiende una regla que asocia a cada par de objetos x e y en V un objeto x + y y por multiplicación escalar (*) se entiende una regla que asocia a cada escalar α y a cada objeto x en V, un objeto αx denominado múltiploescalar de x por α. Si los objetos x, y y z en V y los escalares α y β satisfacen los siguientes axiomas, entonces (V, +, K, *) se denomina Espacio Vectorial: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Si x Є V e y Є V, entonces x + y Є V (Ley de composición interna o cerradura para la suma) Para todo x Є V, y Є V, z Є V, entonces (x + y) + z = x + (y + z) (Ley asociativa de la suma en V) Existe 0 Є V, tal que x +0 = 0 + x = x (Existencia en Vde elemento neutro para la suma) Existe –x Є V, tal que x + (-x ) = 0 (Existencia en V de elemento inverso aditivo) Para todo x Є V e y Є V, se verifica x + y = y + x (Ley conmutativa de la adición en V) Si x Є V y α Є K, entonces αx Є V.(Ley de composición externa o cerradura para la multiplicación por escalar) Para todo x Є V y α, β Є K, se verifica α(β.x) = (αβ).x(Ley de asociatividad mixta) Para todo x e y Є V y α Є K, se verifica α(x + y) = αx + αy (Ley distributiva respecto de la adición del producto por escalar en V) Para todo x Є V y α, β Є K, se verifica (α+β).x = αx + βx (Ley distributiva del producto por escalar en R) 10) Para cada vector x Є V, 1. x = x Los primeros cinco axiomas están referidos al conjunto V con el operador suma (+). Si el...