Espacios Vectoriales

DEFINICION DE UN ESPACIO VECTORIAL
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
DEFINICION DE SUBESPACIOVECTORIAL
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V (K). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V. Entonces se ´dice que H es un subespacio de V.
COMBINACION LINEAL
Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectoresde  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de.
Ejemplo: . Se dice que  es combinación lineal de  y de, porque podemos escribir  sin más que despejar la. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresarcomo combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto  necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector  en cuestión.

BASE Y DIMENSIONES DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmenteindependiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minima de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maxima dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o baseestándar) de ℜⁿ: e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜⁿ porque todo vector (a1, a2,. . . ,an)∈ ℜⁿ se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1, a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
2. Otra base de ℜ ³ distinta de lacanónica: (1, 0,0), (1, 1,0), (0, 2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ³ porque cualquier vector (a, b, c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a, b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan
(a,b,c)= α (1, 0,0)+ β (1, 1,0)+γ (0, 2,-3)
Se obtiene un sistema:
α + β = a
β +2γ =b
-3γ = c
en lasincógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
3. (1, 2,3), (4, 5,6), (7, 8,9) en ℜ³ no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).
4. Base de un subespacio. En ℜ³, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplodel otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan: a,b,0)= α (3,2,0)+ β (1,–1,0) Æ 3α + β = a } S. C. D. para cualesquiera a,b.
2α – β = b

DIMENSION
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Ejemplos de dimensión.
1. ℜⁿ tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión
3. P2= {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2
es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:
1+0x+0x² ,...