Espacios Vectoriales

A lgebra Lineal para Computaci´n
o
Escuela de Matem´tica
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Pr´ctica General
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Espacios Vectoriales (Parte I)
1. Basados en las operaciones adici´n y multiplicaci´n escalar que se definen, respectivamente, determine,
o
o
2
para cada uno de los casos, si R , +, ·R es un espacio vectorial o no lo es.
(a) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) ; δ (x, y) = (δx, 0)
(b) (x1 , x2 )+ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , 0) ; δ (x, y) = (δx, δy)
(c) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (|x1 + y1 | , |x2 + y2 |) ; δ (x, y) = (|δx| , |δy|)
2. Considere alg´n espacio vectorial (V, +, ·R). Demuestre, ∀x, y ∈ V, ∀α, λ ∈ R, cada una de las
u
propiedades siguientes:
(a) 0 x = 0

(f) α x − λ x = (α − λ) x

(b) λ 0 = 0

(g) λ x − λ y = λ (x − y)

(c) (−λ) x = − (λ x)

(h) δ x = 0 ⇒ δ = 0 ∨ x= 0 (´ ambos)
o

(d) λ (−x) = − (λ x)

(i) δ x = δ y ∧ δ = 0 ⇒ x = y

(e) (−λ) (−x) = λ x

(j) δ x = λ x ∧ x = 0 ⇒ δ = λ

3. Demuestre que un subconjunto W de alg´n espacio vectorial (V, + · R) es un subespacio vectorial de
u
V si, y s´lo si, W = ∅, x + y ∈ W y δx ∈ W, ∀x, y ∈ W, ∀δ ∈ R.
o
4. Sean (V, + · R) alg´n espacio vectorial y W ⊆ V. Demuestre que W es un subespacio vectorialde V
u
si, y s´lo si, 0 ∈ W y δx + y ∈ W, ∀x, y ∈ W, ∀δ ∈ R.
o
5. Considere la adici´n y la multiplicaci´n escalar definidas en Rn y determine, para cada uno de los
o
o
casos, si (V, +, ·R) corresponde con un espacio vectorial o no.
(a) V = (a, b, c, d, e) ∈ R5 a = b, a + c = 1, 2d − e = 0
(b) V = (a, 0, a + b, b, a − b) a, b ∈ R
(c) V = (a, b, c, d) ∈ R4 a + b − c = 0, −2a − b + 3c = 06. Considere la adici´n y la multiplicaci´n escalar definidas en C[a, b] y determine, para cada uno de los
o
o
casos, si (V, +, ·R) corresponde con un subespacio de C[a, b] o no.
(a) V = f ∈ C[a, b] f (a) = f (b)
(b) V = f ∈ C[a, b] f (−x) = f (x), ∀x ∈ [a, b]
b

(c) V = f ∈ C[a, b]

f (t) dt = 0
a
b

(d) V = f ∈ C[a, b]

f (t) dt = 1
a

7. Considere la adici´n y lamultiplicaci´n escalar definidas en Rn y determine lo que se pide en cada
o
o
caso:
(a) Verifique que W1 = (a, b, c) ∈ R3 a − 4b − c = 0 es subespacio de R3 .
(b) Verifique que W2 = (a, b, c) ∈ R3 2a − 7b + c = 0 es subespacio de R3 .
(c) Determine el conjunto H = W1 ∩ W2 y verifique que H es subespacio de R3 .
8. Sean W1 y W2 dos subespacios de R3 , tales que W1 =

(a, b, c) ∈ R3 a − b + 2c = 0

y W2=

(a, b, c) ∈ R3 2a − 3b + c = 0 . Responda a lo que se pide en cada caso:
(a) Determine el conjunto W1 ∩ W2 y verifique que W1 ∩ W2 es subespacio de R3 .
(b) ¿Si u, v ∈ W1 ∪ W2 , entonces u + v ∈ W1 ∪ W2 ? Justifique.
9. Sea V = A ∈ M3 (R) A es invertible . En V se definen las operaciones adici´n y multiplicaci´n
o
o
escalar de la manera siguiente: ∀A, B ∈ V, ∀δ ∈ R, A + B = AB, δ · A = δA¿Es (V, +, ·R) un espacio
vectorial? Justifique.
10. Si W =

(x, y, z) ∈ R3 ax + by + cz = 0, con a, b y c n´meros reales fijos , demuestre que W es
u

subespacio de R3 .
11. Sea W = (x, y, y − x) ∈ R3 y ≥ 0 ¿Es W subespacio vectorial de R3 ? Justifique.
12. Si W = (x, y) ∈ R2 ax + by = 1, con a y b constantes reales ¿Es W subespacio de R2 ? Justifique.
13. Si W = (x, y) ∈ R2 ax + by = 0,con a y b constantes reales ¿Es W subespacio de R2 ? Justifique.
14. Demuestre que los unicos subespacios de (R, +, ·R) son (R, +, ·R) y
´
15. Sea W =

−b a
a b

0 , +, ·R .

a, b ∈ R . Demuestre que W es subespacio de M2 (R).

Definici´n 1 (suma)
o
Si W1 y W2 son subconjuntos no vac´ de alg´n espacio vectorial (V, +, ·R), la suma de W1 y W2 ,
ıos
u
denotada por W1 + W2 , est´definida como: W1 + W2 = v1 + v2 v1 ∈ W1 , v2 ∈ W2
a
16. Con base en la definici´n 1, demuestre que si W1 y W2 son subespacios de (V, +, ·R), entonces W1 +W2
o
tambi´n es un subespacio de V.
e
Definici´n 2 (suma directa)
o
Un espacio vectorial V es llamado la suma directa de W1 y W2 , si W1 y W2 son subespacios de V,
tales que W1 ∩ W2 = 0 y W1 + W2 = V; en este caso, se escribe V = W1 ⊕ W2 ....