Espacios vectoriales

CAPITULO II ESPACIOS VECTORIALES

3.1 Espacios Vectoriales

3.1.1 Definiciones, Teoremas y ejemplos

Definición 1. Un espacio vectorial real V (e.v.r) ó espacio lineal sobre los reales, es un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, relacionado con escalares (números reales), tal que para cada par de elementos (u, v) V2, la suma u + v es un único elemento en V y lamultiplicación de un escalar a por un vector u, como un único elemento au V; de tal modo que se satisfagan las siguientes propiedades:
S1: u, v, w V, se tiene que (u + v) + w = u + (v + w)
S2: un único elemento en V denotado por 0V, llamado elemento neutro, tal que 0V + u = u + 0V = u.
S3: Dado u V, existe un único elemento en V, denotado por –u llamado aditivo inverso de u, talque u + -u = -u + u = 0V.
S4: Para todo elemento u, v en V, se tiene que:
u + v = v + u (conmutatividad de la suma de vectores)
M1: Sí c es un número real, entonces:
c(u + v) = cu + cv, donde u, v V.
M2: Sí a, b son números reales, entonces:
(a + b)u = au + bu, donde u V.
M3: Sí a, b son números reales, entonces:
(ab)u = a(bu), donde u V.

M4: u V, se tiene que1u = u

Nota: En la definición anterior las cuatro propiedades S, están asociadas a la suma vectorial y las cuatro propiedades M, se asocian a un mix entre la suma vectorial y el producto por un escalar. Se observa también que la definición es válida, si el conjunto de escalares es el conjunto de los números racionales (en tal caso V se dirá Espacio Vectorial Racional) o el conjunto de losnúmeros complejos (Espacio Vectorial Complejo).

En nuestro caso y en lo que sigue, solamente estudiaremos espacios vectoriales reales. En el supuesto caso que sea otro el conjunto, se darán las respectivas instrucciones.

Ejemplos:
1. Rn: Conjunto de n – uplas reales, es un espacio vectorial real, con la suma usual de n - uplas y el producto usual de un real por una n – upla.
2. Mm x n:Conjunto de la matrices de orden m x n, es un espacio vectorial real, con la suma matricial y el producto de un real por una matriz definido en el capitulo anterior.
3. Rnx : Conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n, con coeficientes reales, es un espacio vectorial real, con la suma de polinomios y el producto de un número real por un polinomio.
4. F(A, R) = f : A R / f esfunción: Conjunto de las funciones que asumen valores reales, es un espacio vectorial real, con la suma de funciones y el producto usual de un número real por una función .

H = Conjunto solución de un sistema homogéneo.

Teorema 1. Sea V e.v.r., se verifican las siguientes propiedades en V.
i. 0V es único en V
ii. Para cada v V, el opuesto –v de v, es único en V
iii. Si u, v, w V, setiene que u + v = w + v u = w
iv. R, 0V = 0V
v. v V, 0 * v = 0V
vi. v = 0V = 0 ó v = 0V
vii. u - v = u - v, para todo R y para todo u, v V.
viii. - v = v - v, , R y v V.

ix.

Definición 2. Sea V e.v.r., Un subconjunto no vacío W de V se dice Sub espacio Vectorial, sí W es e.v.r. con las mismas operaciones restringidasa él, de suma y producto escalar con las cuales V es e.v.r.

Notación: Un sub espacio vectorial W del espacio vectorial V, se anota por W V.

Ejemplos:
1. Sí V es e.v.r., entonces V y 0V son sub espacios vectoriales de V (son los sub espacios triviales)
2. W = (x, y) R2 / ax + by = 0, con a y b números reales R2.
3. W = A Mn / At = A Mn.
4. W = (x, y) R2 /ax + by = c, con a y b números reales no es subespacio vectorial de R2, sí c 0.

Teorema 2. Sea V e.v.r. y W subconjunto de V.

W V, sí y solo sí:
1. W
2. u, v W, entonces u + v W
3. v W y a un número real, entonces av W

Propiedad. Sí W V, entonces 0V = 0W
Nota: El recíproco es falso, es decir, si se cumple que 0V = 0W no implica que W...