espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
Omar Dar´ Saldarriaga Ort´
ıo
ız
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia

2009

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Definici´n
o
Sea V un conjunto no vacio con dos operaciones + : V × V → V y
• : R × V → V , decimos que V es un espacio vectorial sobre R si para todo
x, y, z ∈ V y para todo α, β ∈ R secumple lo siguiente:
1

(x + y) + z = x + (y + z)

2

Existe θ ∈ V tal que θ + x = x + θ = x para todo x ∈ V (A θ se le
llama neutro de V )

3

Para todo x ∈ V existe w ∈ V tal que x + w = w + x = θ,(A w se le
llama el inverso aditivo de x)

4

x+y =y+x

5

α • (x + y) = α • x + α • y

6

(α + β) • x = α • x + β • x

7

α • (β • x) = (αβ) • x

8

1•x=xDefiniciones b´sicas y ejemplos
a

Ejemplo
1

El conjunto de vectores en R

2

El conjunto Mmn de matrices m × n es un espacio vectorial.

3

es un espacio vectorial.

El conjunto Pn = {a0 + a1 t + · · · + an tn | a0 , · · · , an ∈ R} es el
cunjunto de polinomios de grado a lo sumo n es un espacio vectorial.

Teorema
Sea V un espacio vectorial, x ∈ V y α ∈ R entonces
1

El neutro esunico.
´

2

El inverso aditivo de x es unico.
´

3

α•θ =θ

4

−1 • x = −x

5

0•x=θ

6

Si α • x = θ entonces α = 0 o x = θ

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Ejemplo
1

El conjunto de vectores en R

2

El conjunto Mmn de matrices m × n es un espacio vectorial.

3

es un espacio vectorial.

El conjunto Pn = {a0 + a1 t + · · · + an tn | a0 , · · · , an ∈ R} esel
cunjunto de polinomios de grado a lo sumo n es un espacio vectorial.

Teorema
Sea V un espacio vectorial, x ∈ V y α ∈ R entonces
1

El neutro es unico.
´

2

El inverso aditivo de x es unico.
´

3

α•θ =θ

4

−1 • x = −x

5

0•x=θ

6

Si α • x = θ entonces α = 0 o x = θ

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Definici´n (SUBESPACIO VECTORIAL)
o
Sea V un espaciovectorial y φ = W ⊆ V , decimos que W es un subespacio
de V si W es tambi´n un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de
e
suma y producto por escalar de V .
Ejemplo
El conjunto Pn−1 es un subespacio de Pn .

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Definici´n (SUBESPACIO VECTORIAL)
o
Sea V un espacio vectorial y φ = W ⊆ V , decimos que W es un subespacio
de V si W es tambi´n unespacio vectorial bajo las mismas operaciones de
e
suma y producto por escalar de V .
Ejemplo
El conjunto Pn−1 es un subespacio de Pn .
Teorema
Sea V un espacio vectorial y φ = W ⊆ V , entonces W es un subespacio de
V si para todo w, w ∈ W y para todo α ∈ R se satisface que
1

w+w ∈W

2

α•w ∈W

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Definici´n (SUBESPACIO VECTORIAL)
o
Sea V unespacio vectorial y φ = W ⊆ V , decimos que W es un subespacio
de V si W es tambi´n un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de
e
suma y producto por escalar de V .
Ejemplo
El conjunto Pn−1 es un subespacio de Pn .
Teorema
Sea V un espacio vectorial y φ = W ⊆ V , entonces W es un subespacio de
V si para todo w, w ∈ W y para todo α ∈ R se satisface que
1

w+w ∈W

2

α•w ∈WDefiniciones b´sicas y ejemplos
a

Ejemplo




Usando el teorema anterior determine si H = 





x1


.  : x = 0 es un
.  n
.


xn

subespacio de Rn
Teorema
Sean φ = W1 , W2 ⊆ V subespacios de V entonces W1 ∩ W2 es un subespacio
de V .

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Ejemplo




Usando el teorema anterior determine si H = 





x1

.  : x = 0 es un
.  n
.


xn

subespacio de Rn
Teorema
Sean φ = W1 , W2 ⊆ V subespacios de V entonces W1 ∩ W2 es un subespacio
de V .
Teorema
Sean W1 , W2 como en el teorema anterior, definamos
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2 }
entonces W1 + W2 es un subespacio de V .

Definiciones b´sicas y ejemplos
a

Ejemplo




Usando el teorema anterior...