Espacios Vectoriales

iosEspacios vectoriales
Definición y ejemplos

c Jana Rodriguez Hertz – p. 1/2

n

El espacio vectorial K :
(Kn , K, +, .)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

n

El espacio vectorial K :
(Kn , K, +, .)
(+) X + Y := (X1 + Y1 , . . . , Xn + Yn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

n

El espacio vectorial K :
(Kn , K, +, .)
(+) X + Y := (X1 + Y1 , . . . , Xn + Yn )
(.)

α.X:= (αX1 , . . . , αXn )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
[S3] ∃NEUTRO +: X + O = X

∀ X ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
[S3] ∃ NEUTRO +: X + O = X

∀ X ∈ Kn

[S4] TODO X TIENE OPUESTO :
∀X ∈ Kn ∃(−X ) ∈ Kn :
X + (−X ) = O

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )

c Jana Rodriguez Hertz – p.4/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X

∀ X ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X

∀ X ∈ Kn

[P3] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN K:
(α + β )X = αX + βX

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.)1X = X

∀ X ∈ Kn

[P3] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN K:
(α + β )X = αX + βX
[P4] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN Kn :
α(X + Y ) = αX + αY

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

(Kn , K, +, .) es un ejemplo
de espacio vectorial

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

Espacio vectorial - definición
Se dice que (V, K, +, .) es un espacio vectorial si

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

Espaciovectorial - definición
Se dice que (V, K, +, .) es un espacio vectorial si
K es un cuerpo

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

Espacio vectorial - definición
Se dice que (V, K, +, .) es un espacio vectorial si
K es un cuerpo
y las operaciones
+:V×V →
V
(X, Y ) → X +Y

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

Espacio vectorial - definición
Se dice que (V, K, +, .) es un espacio vectorial si
K esun cuerpo
y las operaciones
+:V×V →
V
(X, Y ) → X +Y
.:K×V → V
(α, X ) → α.X

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

Espacio vectorial - definición
Se dice que (V, K, +, .) es un espacio vectorial si
K es un cuerpo
y las operaciones
+:V×V →
V
(X, Y ) → X +Y
.:K×V → V
(α, X ) → α.X
cumplen las siguientes propiedades:

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

Propiedades (+)
[S1] CONMUTATIVA : X + Y = Y + X

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

Propiedades (+)
[S1] C ONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
[S3] ∃ NEUTRO +: X + O = X

∀X ∈ V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

Propiedades (+)
[S1] CONMUTATIVA : X + Y = Y + X
[S2] A SOCIATIVA : (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
[S3] ∃ NEUTRO +: X + O = X
[S4] TODO X

TIENE OPUESTO :

∀X ∈ V

∀X ∈ V

∃(−X ) ∈ V :

X + (−X ) = O

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X∀X ∈ V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X

∀X ∈ V

[P3] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN K:
(α + β )X = αX + βX

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

Propiedades (.)
[P1] A SOCIATIVA : (αβ )X = α(βX )
[P2] ∃ N EUTRO (.) 1X = X

∀X ∈ V

[P3] D ISTRIBUTIVA RESPECTO + EN K:
(α + β )X = αX + βX
[P4] D...