Espacios vectoriales

Facultad de Ingeniería UCV

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

Ciclo Básico

ESPACIOS VECTORIALES
Bases y Dimensión r r r r Sea F = { x 1, x 2 , x 3 , L, x n } un conjunto de vectores quegeneran un r r r r subespacio S = gen(x 1, x 2 , x 3 , L, x n ) de un espacio vectorial E de dimensión finita ( Dim(E) = m ). Se puede extraer de este conjunto de vectores una base para S siguiendo lossiguientes pasos: Paso 1: Se construye la matriz M de las componentes de los vectores de F en una base del espacio vectorial E. Si E tiene una base canónica, utilice ésta. Paso 2: Se aplicaeliminación gaussiana a M para hallar la matriz escalonada reducida equivalente a M. Cambio de Base para un Vector Caso particular: Sea B la base canónica de un espacio vectorial E de dimensión finita y sea B′otra base de E. Sean X y X ′ las matrices columnas de las r componentes de un vector x en E, respecto a las bases B y B′ , respectivamente. Entonces, la matriz M de cambio de la base B′ a la basecanónica B , es la matriz de las componentes de los vectores de la base B′ en la base canónica B . En forma matricial se tiene: X = MX ′ . La matriz M −1 es la matriz de cambio de la base canónica B a labase
B′ y en este caso, X ′ = M−1X Caso general:

Sean B1 y B 2 dos bases de un espacio vectorial E de dimensión finita. r Sean X 1 y X 2 las matrices columnas de las componentes del vector xrespecto a las bases B1 y B 2 , respectivamente. La matriz M de
B1B 2

cambio de la base B1 a la base B 2 , es la matriz de las componentes de los vectores de la base B1 en la base B 2 . En este caso, X2 = M X1 .
B1B 2

La matriz M −1

B1B 2

=M

B 2 B1

es la matriz de cambio de la base B 2 a la

base B1 . Se tiene entonces, X 2 = M X . B 2 B1 1
Los vectores de F cuyas columnaspresenten los pivotes unitarios (digamos r r r r r x 1 , x h , x i , x j , x k en la matriz) constituyen una base B de S. El número de pivotes r, es el rango de la matriz M y por lo tanto, representa la...