Estadistica Utel

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E stadística

y probabilidad

Continuando el proceso se tienen n × m parejas distintas que contienen un elemento
de cada conjunto. En estos arreglos se escriben primero los elementos del conjunto A
seguidos de los del B. El proceso se puede generalizar para el caso de k conjuntos, y resulta
la siguiente definición.
Definición 3.1

Dados A1,..., A k k conjuntos diferentes y n1,n2,..., nk las cantidades respectivas de elementos
de dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cada
conjunto, escribiendo primero los elementos del conjunto uno seguidos de los del conjunto dos,
sucesivamente hasta llegar al conjunto k, se llama regla generalizada de multiplicación, y está
dada por

n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk

Ejemplo 1

1. Setienen ocho libros de física, cuatro de química y siete de matemáticas, todos ellos
diferentes, ¿cuántos arreglos de tres libros, que contengan un libro de cada tema, se
pueden formar con todos los libros si primero van los de física, seguidos por química
y matemáticas?

Con los datos anteriores y el uso de la regla de multiplicación, que indica el
total de arreglos de librosdiferentes de cada tema, se obtiene
8 × 4 × 7 = 224

2. Para ir de la ciudad A a la ciudad B existen tres caminos, de la ciudad B a la C existen
cuatro, de la ciudad C a la D dos, ¿dé cuántas maneras se puede ir de la ciudad A a
la D, sin pasar por la misma ciudad más de una vez?

Con los datos anteriores y con el uso de la regla de multiplicación, el total de
caminos diferentes para ir de A aD es
3 × 4 × 2 = 24

Ejercicio 1
1. ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar con las letras a, r, m y los números 3,
5, 6 y 8, si primero va la letra y después el número?
2. Para viajar de la ciudad de México a Veracruz existen tres caminos y de Veracruz a
Tabasco también tres, calcula de cuántas formas puede viajar una persona de México
a Tabasco si debe pasar por Veracruz.3. Una persona quiere regalar dulces de tres tipos a su hijo: chocolate, caramelo y
goma de mascar; entra a una tienda donde hay doce variedades de chocolates,
quince de caramelos y diez de goma de mascar, calcula de cuántas maneras puede
integrar el arreglo de dulces.

3.2 Diagramas de árbol
El nombre diagrama de árbol se debe a su forma, ya que con los elementos de los diferentesconjuntos que se estudian se construyen ramificaciones, con las cuales se obtienen todos los
arreglos posibles.

U nidad 3 • P robabilidad

con técnicas de conteo

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Definición 3.2
El diagrama de árbol es una forma gráfica de encontrar todos los arreglos que se pueden formar
con los diferentes elementos de los conjuntos que se tiene. Un arreglo es una ramificación –desde
su punto inicialhasta su punto final–, donde cada ramificación debe tener un elemento de cada
conjunto.

Ejemplo 2

Retomando los datos del ejemplo 1, numeral 2, es posible resolver el problema mediante
un diagrama de árbol.
Primero se representa en un punto a la ciudad A, después se trazan, a partir de este
punto, tres líneas rectas para los tres caminos de la ciudad A a la B; de igual forma, de
cadapunto que representa a la ciudad B, se trazan cuatro líneas para los cuatro caminos
de la ciudad B a la C; finalmente, de cada punto que representa la ciudad C, se trazan dos
líneas para los dos caminos de la ciudad C a la D.

Diagrama 3.1
Diagrama de árbol de los diferentes
caminos para viajar de la ciudad A a la D.

C
C
B
C

D
D
D
D
D
D

C

D
D

C

D
D

C
A

B
CD
D
D
D

C

D
D

C

D
D

C
B
C
C

D
D
D
D
D
D

El diagrama 3.1 muestra todos los caminos posibles para viajar de la ciudad A a la
D, pasando por las ciudades B y C, los cuales se pueden obtener al unir rectas desde el
punto A al D sin regresar por ningún camino.
Como se observa, los diagramas de árbol son bastante sencillos y muestran todos
los arreglos posibles....