Estadistica

Modelo Lineal Generalizado (GLM)
Daniela V´lez Montoya
e
28 de Agosto 2013.

Introducci´n
o
Los modelos lineales generalizados (MLG), se desarrollan debido a que en
ocasiones los m´todos de regresi´n lineal simple no funcionan. Algunas veces las
e
o
transformaciones para linealizar estos pueden ayudar, pero en general se obtienen m´s complicaciones a las que se ten´ anteriormente. Deesta manera, estos
a
ıa
modelos representan una extensi´n o generalizaci´n del modelo lineal simple.
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o
El GLM permite realizar la regresi´n en situaciones complejas, tales como anao
lizar simult´neamente los efectos de diversas variables explicativas, representar
a
variables respuestas tipo categ´rica, binaria, tipo multinomiales o de conteo y
o
modelos que incluye tasas oproporciones.
As´ los modelos lineales generalizados proporcionan un marco te´rico general
ı,
o
para muchos modelos estad´
ısticos com´nmente encontrados, haciendo que se
u
simplifique su implementaci´n en software estad´
o
ıstico ya que esencialmente el
mismo algoritmo puede ser utilizado para la estimaci´n, inferencia y evaluaci´n
o
o
para todos los GLM’s.
En esta monograf´ se analizara deforma muy amplia el modelo lineal generaıa,
lizado con sus posibles aplicaciones, ya que este tipo de modelo consta de una
gran variedad de estas. Adicionalmente, se mostrara un ejemplo muy pr´ctico
a
y utilizable por medio del software R, donde por medio de una librer´ llamada
ıa
faraway se mostrara la aplicaci´n de un GLM.
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1.

Definici´n.
o

El modelo lineal generalizado (GLM)es una generalizaci´n muy flexible de la
o
regresi´n de m´
o
ınimos cuadrados ordinaria. Este modelo relaciona la distribuci´n
o
aleatoria de la variable dependiente en el experimento (la funci´n de distribuo
ci´n) con la parte sistem´tica (no aleatoria o predictor lineal), por medio de
o
a
una funci´n llamada la funci´n de enlace. John Nelder y Robert Wedderburn
o
o
fueron laspersonas que formularon los modelos lineales generalizados en 1972,
como una manera de unificar varios modelos estad´
ısticos, incluyendo la regresi´n
o
lineal, regresi´n log´
o
ıstica y regresi´n de Poisson, bajo un solo marco teorico1 .
o
Esto les permiti´ desarrollar un algoritmo general para la estimaci´n de m´xio
o
a
ma verosimilitud en todos estos modelos. Naturalmente puede ser extendidoa
muchos otros modelos.
Adicionalmente este tipo de modelos tambi´n puede ser una alternativa para
e
el an´lisis de variables continuas. Se puede aplicar esto en muchos campos de
a
estudio, como lo son la epidemiologia, actuaria, biolog´ sociolog´ y muchos
ıa,
ıa
campos de investigaci´n.
o

1.1.

Componentes Del Modelo Lineal Generalizado2 :

Todos los modelos linealesgeneralizados tienen tres componentes:
1. El componente aleatorio, que identifica la variable respuesta Y , y asume
una distribuci´n de probabilidad para este.
o
2. La componente sistem´tica, la cual especifica las variables explicativas del
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modelo (Predictor lineal). Sera denotado como η = Xβ.
3. La funci´n Link o de enlace denotada por g, tal que E(Y ) = µ = g −1 (η).
o
El par´metro desconocido βes mayormente estimado por medio de dos metodoa
log´ m´xima verosimilitud y m´
ıas, a
ınimos cuadrados, pero estas dos metodolog´
ıas
en estos modelos, estiman exactamente de igual manera, as´ que cualquiera de
ı
las dos metodolog´ llevaran al mismo estimador, para nuestro caso, se estima
ıas
por m´xima verosimilitud pero tambi´n existen metodolog´ que estiman el
a
e
ıas
par´metrocomo la m´xima cuasi-verosimilitud, o t´cnicas de inferencia bayea
a
e
siana.
Una gran ventaja de manejar este tipo de modelos es que nos permiten incluir
una enorme cantidad de informaci´n, la cual puede ser analizada por medio de
o
estimaciones y descripciones graficas, El manejo de modelos lineales generalizados nos permiten una aplicaci´n, conocimiento general y mayor generalizaci´n
o
o...