estadistica

ALGUNOS MODELOS DISCRETOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Considere la inspección de un artículo único salido de la línea de ensamblaje. Se decide
anotar un 1 si el artículo tiene defectos (éxito, con probabilidad p) y 0 (fracaso, con
probabilidad q = 1 – p) si no lo tiene. Si X es la variable aleatoria1 que representa el
estado del artículo que se inspecciona,entonces X tiene una distribución de Bernoulli:
x=0
q ,

p(x) = p ,
x=1
0 , en otro caso

donde p es la probabilidad
de observar un artículo
defectuoso (éxito).

Función
de
Cuantía

X: éxito obtenido en la prueba
1-x

(función que asigna las
probabilidades)

p x q
p(x)= 
 0

, x=0,1
, en otro caso

p+q=1

Resumiendo, X tiene una distribución Bernoulli siexisten las condiciones siguientes:
1.- El experimento se realiza una sola vez.
2.- El resultado del experimento puede ser un éxito o un fracaso.
3.- La probabilidad de éxito se denota por p y la probabilidad de fracaso por q.
p + q =1
Ejemplos:
 Lanzar una moneda y que salga cara.

p=½

 Elegir una persona de la población y que esté enfermo.
p = 1/1000 = prevalencia de la enfermedad

SiX es una v. a. Bernoulli con parámetro p (X  B(1,p) ), entonces la media y la
varianza son:
 = E(X) = p y 2 = V(X) = pq

1

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un
experimento aleatorio. Un modelo de distrib. de prob. es la representación simbólica de una población.

E(X) =

 x  p(x)

V(X) = E(X 2 ) - (E(X))2 ,E(X2 ) 

Rex X

Ana María Díaz – Cecilia Larraín

x

2

 p(x)

Rec X

Modelos de probabilidad discretos

Página 1

DISTRIBUCION BINOMIAL
Si se repite en forma independiente un número fijo de veces,

n, un experimento de

Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial.
Ejemplo: En la fabricación de cilindros para gas, se ha observadoque el 8% no cumple
con las especificaciones requeridas. Se toman al azar 4 cilindros y se someten a un
control, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 cumplan con las especificaciones?, ¿Cuál es
la probabilidad de que por lo menos tres cumplan con las especificaciones?
Se define la variable aleatoria
“X: Nro de cilindros en la muestra que cumplen con las especificaciones”
Se pide calcular lasprobabilidades P(X = 2) y P(X > 3)
En este experimento se indica con E un cilindro cumple con las especificaciones y con D
un cilindro que no cumple con las especificaciones. Con esto, el espacio muestral 
(conjunto de todos los resultados del experimento) se puede describir:
Resultado
DDDD
DDDE
DDED
DEDD

x
0
1
1
1

Resultado
DEEE
EDEE
EEDE
EEED

x
3
3
3
3

ResultadoEDDD
DDEE
DEDE
DEED

x
1
2
2
2

Resultado
EEEE
EDDE
EDED
EEDD

x
4
2
2
2

El suceso en que X = 2 está formado por seis resultados:
{(E,E,DD) , ( D,E,D,E) , (D,E,E,D) , (E,D,D,E) , (E,D,E,D) , (D,D,E,E) } ,
E = éxito,
P(E) = 0,92

D = Fracaso
P(D) = 0,08

Debemos suponer independencia en la realización del experimento (se asume que la población
es infinita), entoncesla probabilidad de (E,E,D,D) es

P( E1  E2  D3  D4 ) = P(E1)P(E2)P(D3)P(D4) = (0,92)2(0,08)2 = 0,00542
Por otra parte, la probabilidad que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente
excluyentes para los que X = 2, es la misma. Por lo tanto

P(X = 2) = 6  (0,0054) = 0,03252
En general,
P(X = x) = (número de resultados con x éxitos en ) P(X = éxito)x  P(X = fracaso)4 - xDeterminamos P(X > 3) =
P( X = 3) + P(X = 4)
 (0,92)3 (0,08)1 + 1  (0,92)4(0,08)0
=4
= 0,9656

Ana María Díaz – Cecilia Larraín

Modelos de probabilidad discretos

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En resumen:
Una variable aleatoria X se distribuye Binomial si existen las cinco condiciones
siguientes:
1. El experimento de Bernoulli se realiza un numero determinado de veces (n).
2. El resultado de...