estadistica

1
INTEGRALES IMPROPIAS.
1. Calcular las siguientes integrales:
+∞

(a)

e−x sen x dx

0

o
Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
1
e−x sen x dx = ejercicio = − e−x (Cos[x] + Sen[x])
2

F (x) =

La integral buscada es l´ (F (x) − F (0)) = 0 − (−1/2) = 1/2
ım
x→+∞

1

x ex dx

(b)
−∞

o
Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
x ex dx =ejercicio = ex (−1 + x)

F (x) =

La integral buscada es l´ (F (1) − F (x)) = 0 − 0 = 0
ım
x→−∞

+∞

(c)

cos x dx
1

o
Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
F (x) =

cos x dx = sen x

La integral buscada es divergente ya que no existe l´ sen(x)
ım
x→+∞

+∞

(d)

dx
−4

x2

4

o
Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
dx
x−2
= ejercicio =1/2 ln
x2 − 4
x+2

F (x) =

La integral buscada es l´ (F (x) − F (4)) = 0 − 1/2 ln(1/2) =
ım
x→+∞

+∞

(e)
1

dx
x

Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
o
F (x) =

dx
= ln |x|
x

La integral buscada es divergente ya que l´ F (x) = +∞
ım
x→+∞

−2

(f)
−∞

dx
x2

Soluci´n Calculamos una primitiva de la funci´n
o
o
F (x) =

dx
−1
= ejercicio =2
x
x

La integral buscada es l´ (F (−2) − F (x)) = 1/2 − 0 = 1/2
ım
x→−∞

ln 2
2

≈ 0,3466

2
2. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de primera especie:
+∞

1
dx
+1

(a)

2ex

1

o
Soluci´n Utilizamos el criterio de comparaci´n con la integral exponencial:
o
+∞

0≤
1

1
dx ≤
x+1
2e

+∞
1

1
1
dx =
x
2e
2

+∞
1

1dx
ex

+∞

1
dx es convergente (es la integral exponencial con t = −1 < 0) la integral a estudiar
ex
1
tambi´n es convergente.
e

Como

+∞

(b)
1

x
dx
x3 + 2

Soluci´n Utilizamos el criterio de comparaci´n con la p-integral:
o
o
+∞

0≤
1
+∞

Como
1

x
dx ≤
3+2
x

+∞
1

x
dx =
x3

+∞
1

1
dx
x2

1
dx es convergente (es la p-integral con p = 2> 0) la integral a estudiar es convergente.
x2

Tambi´n pod´
e
ıamos haber utilizado el criterio de comparaci´n por paso al l´
o
ımite ya que
x
x3
x3 + 2 = l´
=1
l´
ım
ım 3
1
x→∞
x→∞ x + 2
x2
+∞

1
dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar tiene el mismo
x2
1
car´cter y tambi´n es convergente.
a
e

Como

+∞

(c)
1

x3
dx
e2x + 1Soluci´n Utilizamos el criterio de comparaci´n por paso al l´
o
o
ımite, compar´ndola con la integral
a
exponencial para t = −1 < 0
l´
ım

x→∞

x3
ex x3
+ 1 = l´
ım 2x
=0
1
x→∞ e + 1
ex

e2x

Como la integral exponencial para t = −1 < 0 es convergente la integral a estudiar tambi´n es
e
convergente.
+∞

x
dx
x4 + 1
2
Soluci´n Utilizamos el criterio de comparaci´npor paso al l´
o
o
ımite, compar´ndola con una p-integral
a
x
√
4+1
x2
x
l´
ım
= l´ √
ım
=1
1
x→∞
x→∞
x4 + 1
x

(d)

√

3
+∞

1
dx es divergente (es la p-integral con p = 1) la integral a estudiar tiene el mismo car´cter
a
x
2
y tambi´n es divergente.
e

Como

+∞

(e)
1

sen x
dx
x2

Soluci´n Estudiamos su convergencia absoluta
o
+∞
1

+∞sen x
dx =
x2

1

+∞

|sen x|
dx ≤
x2

1

1
dx
x2

Como esta integral es convergente la integral a estudiar es absolutamente convergente y, por tanto,
convergente
+∞

(f)
−∞

x2

1
dx
+1

Soluci´n Esta integral es
o
+∞

1
dx =
2+1
−∞ x

0

+∞

1
dx +
2+1
−∞ x

x2

0

1
dx
+1

Como ambas integrales son convergentes (ejercicio) la integral aestudiar es convergente
+∞

x3 dx

(g)
−∞

Soluci´n Esta integral es
o
+∞

0

+∞

x3 dx =
−∞

x3 dx +

x3 dx

−∞

0

Como ambas integrales son divergentes (ejercicio) la integral a estudiar es divergente
3. Calcular, si es posible:
1

(a)

dx
√
5
−1 x

Soluci´n La funci´n a integrar no es continua en x = 0 y dividimos la integral en dos
o
o
1

dx
√ =
5...