_Estadistica2

MESURES DE CENTRALITZACIÓ: MODA , MITJANA, MEDIANA
Un cop hem recollit les dades i les hem ordenat posant-les en una taula, arriba el moment de
calcular algunes mesures que ens ajudin a fer un bon anàlisi de la variable d'estudi.
Amb dades de tipus quantitatiu les mesures de centralització ens proporcionen amb un sol valor
quin és el centre de la distribució a l'entorn del qual estan les dades.Anem a definir les mesures de centralització més importants.

MODA: És el valor que més es repeteix. Si tenim les dades agrupades en una taula buscarem la
dada que té més freqüència absoluta o relativa. Pot ser que una distribució de dades no tingui
moda , o que en tingui més d'una (si en té dues li direm bimodal).

MITJANA ARITMÈTICA :És la suma de totes les dades dividida entre el nombre total dedades.
 . Si tenim N dades,
De forma abreujada l'escrivim com una X majúscula amb una barra a dalt : X
x
la mitjana es calcula amb la següent fórmula: X
 = ∑ i .Si tenim moltes dades repetides
N
multiplicarem cada dada per la seva freqüència per no haver de sumar tant, en aquest cas la fórmula
x ·n
ens quedarà: X
 =∑ i i
N

MEDIANA : És el valor central de la distribució de dades. El 50% deles dades són inferiors o
iguals a la mediana i l'altre meitat són superiors a ella. Per calcular-la han d'estar ordenades de
petita a gran. Si tenim un nombre senar de dades n'hi haurà una que està justament al mig, la que
N+ 1
ocupa el lloc
, aquesta dada en serà la mediana. Si tenim un nombre parell de dades , n'hi
2
N
N
+ 1 . Es
ha dues que ocupen el centre , les que estan en posició
i la queestà en posició
2
2
tractarà d'identificar quines dades estan en aquestes posicions i després fer la mitjana de les dues.
Veiem ara diversos exemples que il·lustrin aquestes definicions.

1

EXEMPLE 1
La següent sèrie numèrica correspon al nombre de gols que ha anotat un nen els 15 primers partits
de lliga: 2, 1, 0, 2, 0, 1,3, 5, 1 ,1, 3, 1, 0, 1,0 .En volem calcular la moda, mitjana i mediana.
Comno són gaires dades, no en farem una taula, però si que les anem a ordenar de menor a major.
0 ,0 ,0 ,0 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5

Quina és la moda?
El valor que més es repeteix, en aquest cas 1. És a dir que aquest nen a la
majoria de partits ha anotat 1 gol. Diríem que la moda d'aquesta sèrie és 1.
Quina és la mitjana aritmètica?
Apliquem la fórmula :
x
 = ∑ i =000011111122335 = 21 =1.4
X
N
15
15
Observem que la segona versió de la fórmula ens permetria no haver de sumar tant:
 =∑
X

x i ·n i 0 · 41 ·62 ·23 ·25 ·1
=
=1.4 és la mateixa fórmula, senzillament que en lloc
N
15
de sumar molts cops seguits el mateix nombre multipliquem el valor per la freqüència (és a dir per
les vegades que surt repetida) i acabem abans.
Què ens diu aquest 1.4? Doncs que hauria d'haver marcat 1.4 gols acada partit per obtenir la
mateixa xifra de gols.
Calculem la mediana:
Ja tenim les dades ordenades i en tenim 15 (nombre senar) llavors hi ha una dada que estarà just
N 1 151
=
=8 . La dada que ocupa el lloc vuitè és la mediana.
enmig , la que ocupa el lloc
2
2
0 ,0 ,0 ,0 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5
Vigilem , la mediana NO és 8, la mediana és 1.
Com hem d'interpretar la mediana? Doncsdiríem que en la meitat de partits el nen ha marcat 1
gol o menys.

2

EXEMPLE 2
Es pregunta a 10 nens quants dies a la setmana mengen verdura. Les dades recollides són:
2, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 3. En volem calcular la moda , la mitjana aritmètica i la mediana.
Procedim com abans ordenant les dades de petita a gran:
0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3
Quina és la moda?
La majoria de nens han respost quemengen verdura 2 dies a la setmana, aquesta és la dada que
més es repeteix i per tant és la moda.
Quina és la mitjana aritmètica?
Apliquem la fórmula
 =∑
X

x i ·n i 0 · 21 ·32 · 43· 1
=
=1.4
N
10

La mitjana aritmètica és doncs 1,4.
Quina és la mediana?
És el valor central de les 10 dades de que disposem. Com ara 10 es un nombre parell hi ha dues
dades centrals, les...