Estdio factibilidad guarderia

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CAPITULO 6
Integral de nida
Licda. Elsie Hern´
andez Sabor´io
Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica
· · ·
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´editos
Primera edici´
on impresa: Rosario ´
Alvarez, 1988.
Edici´
on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´
on y Lisseth Angulo.
Edici´
on ycomposici´
on nal: Walter Mora.
Gr´
a cos: Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
6.1 Introduci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.2 La integral de nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2.1Propiedades fundamentales de la integral de nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3

4
6.1 Introduci´
on
Antes de abocarnos al estudio de la integral de nida y de la integral inde nida, daremos una peque˜
na semblanza
hist´
orica de la relaci´
on entre el c´
alculo diferencial y el integral.
A continuaci´
on transcribiremos algunos de los p´
arrafos al respecto tomados del libroLa Matem´
atica: su con-
tenido, m´
eto dos y signi cado (que se menciona en la bibliograf´ia).
Durante la segunda mitad del siglo XV II , Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´
atica de las
magnitudes variables, al sentar las bases del c´
alculon diferencial e integral. ”Este fue el verdadero comienzo
del an´
alisis, puesto que el objeto de este c´
alculo son laspropiedades de las funciones mismas, distinto del ob-
jeto de la geometr´ia anal´itica que son las guras geom´
etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz
fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab´ian desarrollado hasta entonces muchos matem´
aticos
y que se extend´ia hasta los m´
etodos de determinaci´
on de ´
areas y vol´
umenes empleados por los antiguos griegos”.
”Aqu´isolo queremos llamar la atenci´
on acerca de los or´igenes de este c´
alculo, que fueron principalmente los
nuevos problemas de la mec´
anica y los viejos problemas de la geometr´ia, consistentes estos ´
ultimos en la deter-
minaci´
on de tangentes a una curva dada y el c´
alculo de ´
areas y vol´
umenes. Estos problemas geom´
etricos hab´ian
sido ya estudiados por los antiguos (bastamencionar a Arqu´imides), y tambi´en por Kepler, Cavalieri, y otros, a
principios del siglo XV I I. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´
on entre estos dos
tipos de problemas y la formulaci´
on de un m´
eto do general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz.
Esta relaci´
on, que permiti´
o conectar los problemas de la mec´
anica con los de lageometr´ia, fue descubierta gracias
a la posibilidad (brindada por el m´
etodo de coordenadas) de hacer una representaci´
on gr´
a ca de la dependencia
de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci´
on. Con la ayuda de esta representaci´
on
gr´
a ca es f´
acil formular la relaci´
on antes mencionada entre los problemas de la mec´
anica y la geometr´ia (relaci´on
que fue el origen del c´
alculo diferencial e integral) y describir as´i el contenido general de estos dos tipos de c´
alculo.
El c´
alculo diferencial es, b´
asicamente, un m´
eto do para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se
conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por ”derivaci´
on” y es completa-
mente equivalente al problema dedibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia
respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto
correspondiente a t.
El c´
alculo integral es en esencia un m´
etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velo cidad,
y en general, de encontrar el resultado total de la acci´
on de...